Fluss

Als Fluss ${\displaystyle (\varphi _{s,t})_{s\leq t\in T}}$ auf einem Messraum ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ bezeichnet man eine Familie von messbaren Funktionen

${\displaystyle \varphi _{s,t}:S\to S,}$

so dass für alle ${\displaystyle s\leq t}$ die Flussgleichungen

${\displaystyle \varphi _{s,t}=\varphi _{u,t}\circ \varphi _{s,u},\quad s\leq u\leq t\in T;\quad \varphi _{s,s}(x)=x}$

erfüllt sind.

Betrachtet man den Fluss einer Differentialgleichung, so bezeichnet ${\displaystyle y^{s,x}(t):=\varphi _{s,t}(x)}$ die Lösung dieser Gleichung, welche zum Zeitpunkt ${\displaystyle s}$ in ${\displaystyle x\in S}$ startet.

Setzt man nun einen Wahrscheinlichkeitsraum davor, das heißt man betrachtet einen Messraum ${\displaystyle (S^{S},{\mathcal {S}}^{S})}$ und die Zufallsvariablen

${\displaystyle \Phi _{s,t}(\omega ):(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (S^{S},{\mathcal {S}}^{S}),}$

so das pfadweise die Flussgleichungen erfüllt sind, dann erhält man einen stochastischen Fluss.

Stochastischer Fluss

Sei ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ein Messraum, ${\displaystyle \operatorname {id} _{S}}$ sei die Identische Abbildung und ${\displaystyle T=\mathbb {R} _{+}}$ oder ${\displaystyle T=\mathbb {N} _{0}}$. Ein stochastischer Fluss ist der Prozess

${\displaystyle \Phi _{s,t}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (S^{S},{\mathcal {S}}^{S}),\quad s\leq t,\quad s,t\in T}$

so dass die Flussgleichungen erfüllt sind, das heißt für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

1. ${\displaystyle \Phi _{s,t}(\omega )=\Phi _{u,t}(\omega )\circ \Phi _{s,u}(\omega )\quad \forall \;s\leq u\leq t}$
2. ${\displaystyle \Phi _{s,s}(\omega )=\operatorname {id} _{S}.}$

Oder äquivalent, definiere für einen Punkt ${\displaystyle x\in S}$ die Abbildung

${\displaystyle \Phi _{s,t}(\omega ,x):=(\Phi _{s,t}(\omega ))(x),}$

dann lässt sich der stochastische Flusses auch als Familie ${\displaystyle \{\Phi _{s,t};s\leq t;s,t\in T\}}$ von Zufallsfunktionen

${\displaystyle \Phi _{s,t}(\omega ,x):\Omega \times S\to S}$

auffassen.

Die zum Fluss assoziierte Familie von Prozessen

Für ${\displaystyle (t_{0},x)\in T\times S}$ definieren wir

${\displaystyle X_{t}^{t_{0},x}:=\Phi _{t_{0},t_{0}+t}(\cdot ,x),}$

dann ist ${\displaystyle (X_{t}^{t_{0},x})_{t\in T}}$ die dem Fluss ${\displaystyle \Phi }$ assoziierte Familie von stochastischen Prozessen.

${\displaystyle P_{t_{0}}^{x}:=P\circ \left((X^{t_{0},x})_{\bullet }\right)^{-1}}$ bezeichnet die Verteilung eines Pfades des stochastischen Flusses.

Brownsche Flüsse

Falls die ${\displaystyle \Phi _{t_{i},t_{i+1}}}$ für ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ und für alle ${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}\leq T}$ unabhängig sind, dann nennt man ${\displaystyle \Phi }$ einen brownschen Fluss.