In der Mathematik sind straffe Kontaktstrukturen (englisch: tight contact structure) ein Begriff aus der Kontaktgeometrie. Der Begriff geht auf Eliashberg zurück. In der ${\displaystyle 3}$-dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine fundamentale Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Definition

Eine Kontaktstruktur auf einer 3-Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn es in der Mannigfaltigkeit keine überdrehten Kreisscheiben gibt, also keine eingebetteten Kreisscheiben, deren Rand ein Legendre-Knoten ist und die entlang des Randes transversal zur Kontaktstruktur sind.

Mit anderen Worten: Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten sind straff, falls sie nicht „überdreht“ (englisch: overtwisted) sind. Sie sind überdreht, falls die Kontaktstruktur eine überdrehte Kreisscheibe enthält.

Beispiele

• Die Standard-Kontaktstruktur mit Kontaktform ${\displaystyle \alpha =dz-xdy}$ auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist straff.
• Die durch die Kontaktformen ${\displaystyle \alpha _{n}=\cos(n\theta )dx-\sin(n\theta )dy}$ auf dem Volltorus ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$ gegebenen Kontaktstrukturen ${\displaystyle \xi _{n}}$ sind straff.
• Straffheitssatz von Gromov-Eliashberg: Wenn eine Kontaktstruktur symplektisch füllbar ist, dann ist sie straff. Zum Beispiel ist die durch ${\displaystyle \alpha =xdy-ydx+zdw-wdz}$ auf ${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}}$ gegebene Standard-Kontaktstruktur der 3-Sphäre straff.
• Kontaktüberlagerungslemma: Wenn ${\displaystyle (M,\xi ^{\prime })\to (M,\xi )}$ eine Kontaktüberlagerung und ${\displaystyle \xi ^{\prime }}$ straff ist, dann ist auch ${\displaystyle \xi }$ straff. Zum Beispiel sind die durch ${\displaystyle \alpha _{n}=\cos(n\theta )dx-\sin(n\theta )dy}$ auf dem 3-Torus ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ gegebenen Kontaktstrukturen ${\displaystyle \xi _{n}}$ straff.

Klassifikationen

• Auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle S^{3}}$ ist die Standard-Kontaktstruktur die einzige straffe, positive Kontaktstruktur.
• Auf ${\displaystyle T^{3}}$ liefern die ${\displaystyle \xi _{n}}$ eine vollständige Liste straffer Kontaktstrukturen.
• Die Poincaré-Homologiesphäre mit umgekehrter Orientierung trägt keine straffe, positive Kontaktstruktur.
• Die zusammenhängende Summe ${\displaystyle P^{2}\mathbb {R} \sharp P^{2}\mathbb {R} }$ trägt keine straffe Kontaktstruktur.

Literatur

• H. Geiges: Contact Topology, Cambridge University Press 2008
• H. Geiges: Contact geometry, in: F. J. E. Dillen, L.C.A. Verstraelen (Hrsg.), Handbook of Differential Geometry, Band 2, North-Holland, Amsterdam, 2006, S. 315–382, Arxiv (Abschnitt 3.6 Tight and Overtwisted)

Einzelnachweise

1. ↑ Geiges, Contact Topology, Cambridge UP, 2008, S. 159