Mechanische Wörter

Für ${\displaystyle \alpha ,\rho \in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$ sind die unendlichen Wörter ${\displaystyle s_{\alpha ,\rho },s'_{\alpha ,\rho }:\mathbb {N} _{0}\to \{0,1\}}$ wie folgt definiert: ${\displaystyle s_{\alpha ,\rho }(n)=\lfloor \alpha (n+1)+\rho \rfloor -\lfloor \alpha n+\rho \rfloor }$

${\displaystyle s'_{\alpha ,\rho }(n)=\lceil \alpha (n+1)+\rho \rceil -\lceil \alpha n+\rho \rceil }$

${\displaystyle s_{\alpha ,\rho }}$ wird unteres und ${\displaystyle s'_{\alpha ,\rho }(n)}$ oberes mechanisches Wort genannt. Ein mechanisches Wort ist irrational, wenn ${\displaystyle \alpha }$ irrational ist.

Ein unendliches Wort ist genau dann ein Sturmsches Wort, wenn es irrational mechanisch ist.

Balancierte Wörter

Eine Menge ${\displaystyle X\subseteq \{a,b\}^{*}}$ ist balanciert, wenn die Häufigkeit von ${\displaystyle a}$ sich in allen Wörtern gleicher Länge um höchstens 1 unterscheidet. Ein unendliches Wort ist balanciert, wenn die Menge seiner Faktoren balanciert ist.

Ein unendliches Wort ${\displaystyle x}$ ist aperiodisch, wenn es keine Wörter ${\displaystyle y,z}$ mit ${\displaystyle x=yz^{\omega }}$ gibt, wobei ${\displaystyle z^{\omega }}$ die unendliche Konkatenation von ${\displaystyle z}$ ist.

Ein unendliches Wort ist genau dann ein Sturmsches Wort, wenn es aperiodisch und balanciert ist.