In der Mathematik ist die Tamagawa-Zahl eine Invariante algebraischer Gruppen. Eine von Robert Kottwitz bewiesene Vermutung André Weils besagt, dass sie für einfach zusammenhängende halbeinfache algebraische Gruppen stets ${\displaystyle 1}$ ist.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine reduktive algebraische Gruppe über einem globalen Körper. Das Haar-Maß auf dem Adelring ${\displaystyle {\mathbb {A} }}$ kann so normiert werden, dass der Faktorraum ${\displaystyle {\mathbb {A} }/k}$ Maß ${\displaystyle 1}$ hat. Mit einer links-invarianten ${\displaystyle \dim(G)}$-Form ${\displaystyle \omega }$ auf ${\displaystyle G(k)}$ und den Haar-Maßen auf den Vervollständigungen ${\displaystyle k_{\nu }}$ erhält man Haar-Maße auf ${\displaystyle G(k_{\nu })}$. Tamagawa zeigte, dass das damit erhaltene Haar-Maß auf ${\displaystyle G({\mathbb {A} })}$ nicht von der Wahl von ${\displaystyle \omega }$ abhängt: ${\displaystyle c\omega }$ gibt dasselbe Maß. Das so konstruierte Haar-Maß wird als Tamagawa-Maß bezeichnet.

Die Tamagawa-Zahl von ${\displaystyle G}$ ist das Volumen von ${\displaystyle G({\mathbb {A} })/G(k)}$ bzgl. der Projektion des Tamagawa-Maßes.

Literatur

• André Weil: Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, vol. 5, S. 249–257, 1959
• Robert Kottwitz: Tamagawa numbers, Ann. of Math. 127 (3), 629–646, 1988

Weblinks

• Tamagawa number (Encyclopedia of Mathematics)
• Tamagawa number (nLab)