Die komplex-analytische Version

Es sei

${\displaystyle \Gamma _{0}(N):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Sl}}_{2}(\mathbb {Z} )\ |\ c\equiv 0\mod N\right\}}$

eine Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe. Dabei heißt ${\displaystyle N}$ auch Stufe der zugehörigen Modulform. Diese Gruppe operiert auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ durch Möbiustransformation. Der Quotientenraum ${\displaystyle Y_{0}(N):=\Gamma _{0}(N)\backslash {\mathfrak {H}}}$ ist eine nicht-kompakte Riemannsche Fläche. Durch Hinzunahme gewisser Punkte aus ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}}$ (den sogenannten Spitzen), kann man ${\displaystyle Y_{0}(N)}$ kompaktifizieren und erhält so eine kompakte Riemannsche Fläche ${\displaystyle X_{0}(N)}$ (Modulkurve). Die komplex-analytische Variante des Modularitätssatzes besagt, dass für jede elliptische Kurve ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$ über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (${\displaystyle \Lambda }$ ein Gitter), mit zugehörigem Wert der j-Funktion ${\displaystyle j(E)\in \mathbb {Q} }$, ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ und eine nicht-konstante holomorphe Abbildung Riemannscher Flächen

${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}$

existiert. Die Zahl ${\displaystyle N}$ heißt der (modulare) Führer von ${\displaystyle E}$. Die Modulkurve parametrisiert die elliptische Kurve.

Eine elliptische Kurve, für die die hier gegebene Aussage wahr ist, heißt modular.

Die komplex-analytische Version des Satzes ist sehr schwach und a priori noch keine zahlentheoretische Aussage. Der eigentliche Modularitätssatz macht Aussagen für über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurven und besagt, dass alle elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ modular sind.

L-Reihen-Version

Folgende Version der Vermutung macht eine Aussage über elliptische Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Sei ${\displaystyle E}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ mit L-Reihe ${\displaystyle L(E,s)}$ (für deren Definition siehe Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer). Dann gibt es ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ (den Führer) und eine Modulform ${\displaystyle f\in S_{2}(N)}$ mit ${\displaystyle L_{f}(s)=L(E,s)}$. Hierbei ist ${\displaystyle L_{f}(s)}$ die Hecke-L-Reihe von ${\displaystyle f}$ (für die Definition siehe Zusammenhang von Modulformen und Dirichletreihen).

Aus der Theorie der Modulformen folgert man daraus leicht, dass ${\displaystyle L(E,s)}$ eine analytische Fortsetzung und eine Funktionalgleichung besitzt. Dies spielt für die Wohldefiniertheit der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer eine große Rolle.

Algebraisch-geometrische Version

Aus der Theorie der Riemannschen Flächen folgt, dass die Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$ als ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definiert werden kann. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle X_{0}(N)}$ sogar ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist. Der Modularitätssatz postuliert nun für jede elliptische Kurve ${\displaystyle E}$ einen surjektiven Morphismus

${\displaystyle X_{0}(N)\rightarrow E}$

von algebraischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ für ein N.

Darstellungstheoretische Version

Sei ${\displaystyle f\in S_{k}(N)}$ eine Modulform. Nach tiefen Sätzen von Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands, kann man ${\displaystyle f}$ eine zweidimensionale Galoisdarstellung

${\displaystyle \rho _{f,p}:{\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\rightarrow {\text{GL}}_{2}(\mathbb {Q} _{p})}$

zuordnen (${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ist der algebraische Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Hier steht links die absolute Galoisgruppe und rechts die allgemeine lineare Gruppe des zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der p-adischen Zahlen. Ebenso kann man jeder elliptischen Kurve E über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ eine solche Galoisdarstellung ${\displaystyle \rho _{E,p}}$ zuordnen.

Der Modularitätssatz besagt in diesem Fall, dass es für jede elliptische Kurve E über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ eine Primzahl p gibt und eine Modulform ${\displaystyle f\in S_{2}(N)}$ für ein N, so dass ${\displaystyle \rho _{E,p}}$ und ${\displaystyle \rho _{f,p}}$ äquivalent sind.

Dies ist die Version, die von Wiles bewiesen wurde.