In der niedrigdimensionalen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Thurston-Norm eine Norm auf der 2. Homologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden Flächen misst.

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, orientierte 3-Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \phi \in H^{1}(M;\mathbb {Z} )=H_{2}(M,\partial M;Z)}$ eine Kohomologieklasse. Wir definieren die Thurston-Norm von ${\displaystyle \phi }$ durch

${\displaystyle x(\phi )=\min \left\{x(S)\colon S{\mbox{ repräsentiert }}\phi \right\}}$,

wobei ${\displaystyle S}$ alle die Homologieklasse ${\displaystyle \phi }$ repräsentierenden Flächen durchläuft und die Komplexität der in Zusammenhangskomponenten zerlegten Fläche ${\displaystyle S=S_{1}\cup \ldots \cup S_{k}}$ durch

${\displaystyle x(S)=-\sum _{i\colon S_{i}\not =S^{2},D^{2}}\chi (S_{i})}$

definiert ist, wobei ${\displaystyle \chi (S_{i})}$ die Euler-Charakteristik der Zusammenhangskomponente bezeichnet. Die so auf der ganzzahligen Kohomologie definierte Thurston-Norm hat die Eigenschaften

• ${\displaystyle x(n\phi )=\mid n\mid x(\phi )}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle x(\phi _{1}+\phi _{2})\leq x(\phi _{1})+x(\phi _{2})}$

und kann deshalb zu einer Halbnorm auf ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {R} )}$ fortgesetzt werden, die als Thurston-Norm bezeichnet wird. (Sie ist gleich der Hälfte der Gromov-Norm.)Ihre Einheitskugel bezeichnet man als Thurston-Norm-Kugel. Thurston bewies, dass es sich um ein Polytop mit Ecken in ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {Q} )=H_{2}(M,\partial M;\mathbb {Q} )}$ handelt.

Eine Kohomologieklasse ${\displaystyle \pi \in H^{1}(M;\mathbb {Z} )=Hom(\pi _{1}M,\mathbb {Z} )}$ heißt gefasert, wenn es eine Faserung ${\displaystyle p\colon M\to S^{1}}$ mit ${\displaystyle p_{*}=\phi }$ gibt. Eine rationale Kohomologieklasse ${\displaystyle \phi \in H^{1}(M;\mathbb {Q} )}$ heißt gefasert, wenn es ein rationales Vielfaches in ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {Z} )}$ gibt, das eine gefaserte Kohomologieklasse ist. Eine Kohomologieklasse ${\displaystyle \phi \in H^{1}(M;\mathbb {R} )}$ heißt gefasert, wenn sie in De-Rham-Kohomologie durch eine nicht ausgeartete Differentialform repräsentiert werden kann. Thurston bewies, dass gefaserte Kohomologieklassen zum Kegel über einer offenen top-dimensionalen Randfläche der Thurston-Norm-Kugel gehören, und dass dann jede andere Komologieklasse in diesem Kegel ebenfalls gefasert ist.

Literatur

• William Thurston: A norm for the homology of 3-manifolds. Mem. AMS 59, 99-130 (1986)

Einzelnachweise

1. ↑ Corollary 6.18 in: David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differ. Geom. 18, 445-503 (1983)