Herleitung und Definition

Für den Drehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$ einer Punktmasse bezüglich des Koordinatenursprungs gilt:

${\displaystyle {\vec {L}}=m\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m\,{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}$.

Hier sind:

• ${\displaystyle m}$: die Masse der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$: der Ortsvektor der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}$: die Geschwindigkeit der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$: die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung

Dies lässt sich mit Hilfe der BAC-CAB-Formel, dem Einheitstensor ${\displaystyle \mathbf {1} }$ und dem Operator ${\displaystyle \otimes }$ für das dyadische Produkt umformen zu:

${\displaystyle {\vec {L}}=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\vec {\omega }}}$

Mit der Definition des Trägheitstensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$:

${\displaystyle \mathbf {\Theta }$ :=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]}

ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \textstyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}$.

Berechnung

Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ bezüglich der Orthonormalbasis mit den Einheitsvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}$ erhält man aus der Bilinearform ${\displaystyle \Theta _{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}}$, wobei die Indizes ${\displaystyle i,j}$ die Koordinaten nummerieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}=&{\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}\\=&{\hat {e}}_{i}\cdot m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\hat {e}}_{j}\\=&m\,{\hat {e}}_{i}\cdot [({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}){\hat {e}}_{j}-({\vec {r}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\vec {r}}]\\=&m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})({\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{j})-r_{j}({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {r}})]\\=&m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}-r_{i}\,r_{j}]\\\Rightarrow \Theta =&m\,{\begin{pmatrix}(r_{2}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{1}r_{2}&-r_{1}r_{3}\\-r_{1}r_{2}&(r_{1}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{2}r_{3}\\-r_{1}r_{3}&-r_{2}r_{3}&(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

Hier sind zusätzlich:

• ${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\,r_{2},\,r_{3})}$ die Koordinaten des Ortsvektors
• ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{für}}\;i=j\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$ das Kronecker-Delta

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets ${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}$.

Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse

Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems. Das Trägheitsmoment ${\displaystyle \Theta _{ee}}$ um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors ${\displaystyle {\hat {e}}}$ ergibt sich durch

${\displaystyle \Theta _{ee}={\hat {e}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}}$.

Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {e}}}$ durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

Deviationsmomente

Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente. Sie geben (nach Multiplikation mit ${\displaystyle \omega ^{2}}$) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente

Im Allgemeinen gilt ${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}$. Aus der positiven Definitheit des Tensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive Eigenwerte ${\displaystyle \Theta _{k}}$ und zugehörige Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{k}}$ gibt, für die gilt ${\displaystyle {\vec {L}}=\Theta _{k}{\vec {\omega }}_{k}}$.

Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die Hauptträgheitsmomente.

Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache Diagonalgestalt:

${\displaystyle \mathbf {\Theta } ={\begin{pmatrix}\Theta _{1}&&\\&\Theta _{2}&\\&&\Theta _{3}\end{pmatrix}}}$

Symmetriebetrachtungen

Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:

• Bei geraden prismatischen Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.
• Bei flächensymmetrischen Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.
• Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre Schnittgerade Hauptträgheitsachsen.
• Bei einem Tetraeder, einem Würfel, bei den übrigen drei regulären Körpern und bei der Kugel ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.
• Sind ${\displaystyle \Theta _{1}}$, ${\displaystyle \Theta _{2}}$ und ${\displaystyle \Theta _{3}}$ paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Rotationssymmetrie bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.

Für ein System von Massenpunkten

Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des Systems ${\displaystyle {\vec {L}}_{n}}$.

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}{\vec {L}}_{n}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}_{n}}$

Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{n}}$ alle identisch und gleich ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$, dann gilt:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}}$

Und somit gilt für den Trägheitstensor ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ des Systems:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Theta } &=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\\&=\sum _{n}m_{n}\,[({\vec {r}}_{n}\cdot {\vec {r}}_{n})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}_{n}\otimes {\vec {r}}_{n}]\\&=\sum _{n}m_{n}{\begin{pmatrix}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-x_{n}y_{n}&-x_{n}z_{n}\\-y_{n}x_{n}&(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-y_{n}z_{n}\\-z_{n}x_{n}&-z_{n}y_{n}&(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum m_{n}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,x_{n}y_{n}&-\sum m_{n}\,x_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}y_{n}x_{n}&\sum m_{n}(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,y_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}z_{n}x_{n}&-\sum m_{n}\,z_{n}y_{n}&\sum m_{n}\,(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Hier sind weiterhin:

• ${\displaystyle m_{1\ldots N}}$ die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{1\ldots N}=(x_{1\ldots N},\,y_{1\ldots N},\,z_{1\ldots N})}$ die Koordinaten ihrer Ortsvektoren

Bei kontinuierlicher Masseverteilung

An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$ ein Integral:

${\displaystyle \Theta =\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\mathbf {1} \,-\,{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\mathrm {d} V}$

mit den einzelnen Trägheitsmomenten

${\displaystyle \Theta _{ij}=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}\,-\,r_{i}r_{j}]\mathrm {d} V}$

Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Würfels

Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge ${\displaystyle d=2a}$ wird ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{\beta \alpha }=\varrho \,\int _{V}(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\mathrm {d} V}$

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen ${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}$ symmetrisch ist. Beim Würfel mit Kantenlänge ${\displaystyle 2a}$ wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von ${\displaystyle -a}$ bis ${\displaystyle +a}$ integriert. Für den Würfel ergibt sich:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{xx}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{yy}=&\varrho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{zz}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+x^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{xy}=&\Theta _{yx}=-\varrho \int _{V}yx\mathrm {d} V=0\\\Theta _{yz}=&\Theta _{zy}=-\varrho \int _{V}zy\mathrm {d} V=0\\\Theta _{zx}=&\Theta _{xz}=-\varrho \int _{V}xz\mathrm {d} V=0\end{aligned}}}$

Dabei wurde

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{a}\mathrm {d} x=&\left[x\right]_{-a}^{a}=2a\\\int _{-a}^{a}x\mathrm {d} x=&\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-a}^{a}=0\\\int _{V}x^{2}\mathrm {d} V=&\int _{x=-a}^{x=a}\int _{y=-a}^{y=a}\int _{z=-a}^{z=a}x^{2}\,\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=\int _{x=-a}^{x=a}x^{2}\,\mathrm {d} x\int _{y=-a}^{y=a}\mathrm {d} y\int _{z=-a}^{z=a}\mathrm {d} z=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{a}(2a)^{2}={\frac {8}{3}}a^{5}\end{aligned}}}$

benutzt, Analoges gilt in ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge ${\displaystyle d=2a}$ und der Masse ${\displaystyle m=\varrho d^{3}}$ des Würfels bekommt der Tensor die Form

${\displaystyle \mathbf {\Theta } =\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {\varrho }{6}}d^{5}\mathbf {1} ={\frac {m}{6}}d^{2}\mathbf {1} }$.