Eigenschaften

Bemerkenswert ist, dass zur Charakterisierung einer Scherung keine Abstands- oder Flächeninhaltsbegriffe benutzt werden müssen. Scherungen lassen sich so in jeder affinen Ebene definieren. Die in der Einleitung genannten Eigenschaften sind dann so zu präzisieren:

Ist in der Ebene ein euklidischer Abstand und ein mit diesem Abstand verträglicher Flächeninhalt definiert, dann bleiben bei einer Scherung mit Achse ${\displaystyle a}$

• der Abstand zwischen zwei Punkten, die auf ${\displaystyle a}$ oder Parallelen zu ${\displaystyle a}$ liegen,
• der Abstand zwischen zwei zu ${\displaystyle a}$ parallelen Geraden und
• der (orientierte) Flächeninhalt jeder messbaren Fläche

erhalten.

In der reellen Ebene kann man durch Wahl einer "Einheitsellipse" oder gleichwertig durch Wahl eines affinen Koordinatensystems als Orthonormalbasis unterschiedliche euklidische Strukturen, d. h. unterschiedliche Winkel- und Abstandsbegriffe einführen. Eine Scherung hat nun die genannten Invarianzeigenschaften in Bezug auf jede dieser Strukturen, während zum Beispiel eine Drehung bezüglich einer euklidischen Struktur bezüglich einer anderen keine Drehung zu sein braucht. Diese Unabhängigkeit von der euklidischen Struktur teilen die Scherungen mit den Parallelverschiebungen.

Eine weitere Eigenschaft der Scherung besteht darin, dass sie als Verkettung zweier verschiedener Schrägspiegelungen an derselben Geraden g darstellbar ist.

Bildkonstruktion

Eine Scherung in der Ebene ist festgelegt, wenn ihre Achse ${\displaystyle a}$ und für einen gegebenen Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb der Achse sein Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ gegeben sind. Dann kann das Bild eines weiteren Punktes ${\displaystyle Q}$, der nicht auf der Achse und nicht auf der Verbindungsgeraden ${\displaystyle PP'}$ liegt, folgendermaßen konstruiert werden, die Abbildung rechts zeigt die Schritte (rot) der Konstruktion:

1. Konstruiere die Parallele ${\displaystyle q}$ zu ${\displaystyle a}$ durch ${\displaystyle Q}$.
2. Zeichne die Verbindungsgerade ${\displaystyle PQ}$. Sie schneidet die Achse ${\displaystyle a}$ in einem Fixpunkt ${\displaystyle F}$.
3. Zeichne die Verbindungsgerade ${\displaystyle FP'}$. Sie ist das Bild der Gerade ${\displaystyle PQ}$. Daher ist der Schnittpunkt ${\displaystyle Q'}$ von ${\displaystyle FP'}$ mit ${\displaystyle q}$ der gesuchte Bildpunkt.

Wenn der abzubildende Punkt ${\displaystyle Q}$ auf der Achse liegt, ist er selbst Fixpunkt. Liegt er auf der Verbindungsgeraden ${\displaystyle PP'}$, dann muss entweder nach obigem Konstruktionstext zuerst für einen Hilfspunkt ${\displaystyle H}$ außerhalb von ${\displaystyle PP'}$ und der Achse der Bildpunkt bestimmt werden, oder man verwendet für die Bildkonstruktion die Tatsache, dass die Scherung auf ${\displaystyle PP'}$ als Verschiebung operiert.

Matrixdarstellung

Wählt man in der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem, bei dem die ${\displaystyle x}$-Achse mit der Achse der Scherung zusammenfällt, dann wird diese Scherung durch die lineare Abbildung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\quad }$

mit der Abbildungsmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$

dargestellt. Ist die Achse der Scherung hingegen die ${\displaystyle y}$-Achse, tauschen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle m}$ in der Abbildungsmatrix ihre Plätze. Beide Abbildungen verändern den Winkel zwischen den Koordinatenachsen jeweils um ${\displaystyle \arctan m}$.

Ist eine affine Abbildung ${\displaystyle \alpha }$ der Ebene durch ihre Abbildungsmatrix ${\displaystyle M}$ und ihre Verschiebung ${\displaystyle {\vec {v}}}$ gegeben,

${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto M\cdot {\vec {x}}+{\vec {v}}}$,

dann ist ${\displaystyle \alpha }$ genau dann eine Scherung, wenn

1. die Fixpunktgleichung ${\displaystyle {\vec {x_{F}}}=M\cdot {\vec {x_{F}}}+{\vec {v}}}$ eine Lösung ${\displaystyle {\vec {x_{F}}}}$ hat
2. und die Matrix ${\displaystyle M}$ das charakteristische Polynom ${\displaystyle \chi _{M}(X)=(X-1)^{2}}$ hat. Dabei ist die Determinante gegeben als

   ${\displaystyle \chi _{M}(X):=\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-M\right)}$.

Für algebraische Untersuchungen ist es bequem, die betrachteten affinen Abbildungen als 3×3-Matrizen (erweiterte Abbildungsmatrizen) bezüglich einer festen Basis darzustellen. Das entspricht einer Darstellung der affinen Abbildung in homogenen Koordinaten: Statt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

schreibt man dann

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&v_{1}\\m_{21}&m_{22}&v_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}}$.

Algebraische Struktur

Die Verkettung zweier Scherungen ist im Allgemeinen keine Scherung mehr. Die Menge aller Scherungen der Ebene bildet also insbesondere keine Gruppe. Ihre erweiterten Abbildungsmatrizen sind eine Teilmenge der Gruppe der Verschiebungsmatrizen in der Speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(3,\mathbb {K} )}$. Das ist eine Gruppe. (Sie besteht aus den Matrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&v_{1}\\m_{21}&m_{22}&v_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}}$,

deren Determinante 1 ist. Genau die erweiterten Abbildungsmatrizen flächentreuer und orientierungs­erhaltender Affinitäten bilden diese Gruppe.)

Die Menge der Scherungen mit einer gemeinsamen Achse bildet eine abelsche Gruppe. Sie ist isomorph zur Gruppe der Verschiebungen in eine feste Richtung, denn man kann ein affines bzw. kartesisches Koordinatensystem wählen (mit der gemeinsamen Achse als ${\displaystyle x}$-Achse), in der sie alle eine Darstellung der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&m&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

haben. Für die Darstellung der Scherung kommt es auf die Lage des Ursprungs auf der Achse nicht an.

Für Scherungen, deren Achsen parallel sind, kann man ein gemeinsames affines bzw. kartesisches Koordinatensystem wählen, in dem ihre erweiterten Abbildungsmatrizen die Form

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&m&v_{1}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

haben. (Der Verschiebungsanteil ${\displaystyle v_{2}}$ muss verschwinden, da sonst die Fixpunktgleichung keine Lösung hat.) Multipliziert man zwei dieser erweiterten Matrizen, so ergibt sich:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&m&v_{1}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&n&w_{1}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m+n&v_{1}+w_{1}\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Daraus wird offensichtlich:

1. Die Verkettung zweier Scherungen mit parallelen Achsen ist wieder eine Scherung mit einer Achse, die parallel zu den ursprünglichen Achsen ist.
2. Die Menge der Scherungen mit Achsen in einer festen Richtung bildet eine abelsche Gruppe.
3. Die Gruppe wird erzeugt von der Gruppe der Scherungen mit einer festen Achse (aus der Parallelenschar) und der Gruppe der Verschiebungen parallel zu dieser Achse. Sie ist sogar das direkte Produkt dieser Gruppen.
4. Die Gruppe ist isomorph zur Gruppe der Parallelverschiebungen der Ebene (also letztlich zum zweidimensionalen Vektorraum über dem Grundkörper als abelsche Gruppe).