Radiale Affinitäten

Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent zu ${\displaystyle \mathrm {rang} (A_{n}-E_{n})=n}$.

(Der Rang ${\displaystyle \mathrm {rang} (f)}$ wird in Rang erläutert.)

Perspektive Affinitäten

Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene (das heißt eine ausschließlich aus Fixpunkten bestehende Hyperebene) besitzt, was äquivalent zu ${\displaystyle \mathrm {rang} (A_{n}-E_{n})=\mathrm {rang} (A_{n}-E_{n}\mid {\vec {t}})=1}$ ist.

Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ (das heißt einem Eigenwert von ${\displaystyle A_{n}}$) noch einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{2}\in K\setminus \lbrace 0,1\rbrace }$ besitzt.

Eine Parallelstreckung mit ${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$ heißt Affinspiegelung. Sie heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ besitzt.

Eine perspektive Affinität besitzt ein Invariantes Rechtwinkelpaar.

Homothetien

Eine Affinität mit

${\displaystyle A_{n}=k\cdot E_{n}}$ mit ${\displaystyle k\in K\setminus \lbrace 0\rbrace }$ heißt Homothetie oder Dilatation.

Falls außerdem

• ${\displaystyle k\in K\setminus \lbrace 0,1\rbrace }$, heißt ${\displaystyle \alpha }$ Zentralstreckung.
• ${\displaystyle k=1}$, heißt ${\displaystyle \alpha }$ Verschiebung oder Translation
• ${\displaystyle k=-1}$, heißt ${\displaystyle \alpha }$ Punktspiegelung.

Unimodularität

Eine Affinität heißt unimodular, wenn ${\displaystyle \det(A_{n})=\pm 1}$.

Sie ist eigentlich unimodular, wenn ${\displaystyle \det(A_{n})=1}$.

Inhaltstreue

Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn ${\displaystyle \det(A_{n})=\pm 1}$.

Sie ist gleichsinnig, wenn ${\displaystyle \det(A_{n})>0}$.

Bijektivität

Eine Affinität ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

Geradentreue

Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.

Parallelentreue

Die Bilder paralleler Geraden unter einer Affinität sind wieder parallel.

Teilverhältnistreue

Ist ${\displaystyle T}$ ein Punkt der Strecke ${\displaystyle [AB]}$ und sind ${\displaystyle A',B',T'}$ die Bilder von ${\displaystyle A,B}$ und ${\displaystyle T}$ unter einer Affinität, so ist das Teilverhältnis von ${\displaystyle (A';T';B')}$ gleich dem Teilverhältnis von ${\displaystyle (A;T;B)}$. Speziell gilt: Ist ${\displaystyle M}$ Mittelpunkt von ${\displaystyle [AB]}$, so ist der Bildpunkt von M unter einer Affinität der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle [A'B']}$.

Geraden durch Punkt und Bildpunkt sind Fixgeraden

Eine Gerade ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$, durch einen Punkt ${\displaystyle P}$ und seinen Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade ${\displaystyle a}$ der perspektiven Affinität zeigen:

• Wenn ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ die Fixpunktgerade ${\displaystyle a}$ in einem Punkt ${\displaystyle P_{a}}$ schneidet, so ist das Bild von ${\displaystyle {\overline {PP_{a}}}}$ aufgrund der Geradentreue die Gerade ${\displaystyle {\overline {P_{a}P'}}}$. Diese fällt aber mit ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ zusammen.
• Wenn ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ parallel zu ${\displaystyle a}$ ist, dann ist das Bild von ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ aufgrund der Parallelentreue eine Parallele zu ${\displaystyle a}$ durch ${\displaystyle P'}$, da das Bild von ${\displaystyle a}$ gleich ${\displaystyle a}$ selbst ist. Diese Parallele fällt aber mit ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ zusammen.

Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Das Bild ${\displaystyle p'}$ einer Parallelen ${\displaystyle p}$ zu einer Fixgeraden ${\displaystyle f}$ ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:

• Da ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle p}$ parallel sind, muss auch ${\displaystyle f=f'}$ und ${\displaystyle p'}$ parallel sein. Aus der Transitivität der Parallelität folgt, dass dann auch ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle p'}$ parallel sein müssen.
• Wähle einen Punkt ${\displaystyle A}$ auf der Affinitätsachse ${\displaystyle a}$ und einen Punkt ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle f}$.
• Da ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle p}$ parallel sind, schneidet die Verbindungsgerade ${\displaystyle {\overline {AX}}}$ auch ${\displaystyle p}$ in einem Punkt ${\displaystyle P}$.
• Da ${\displaystyle f}$ eine Fixgerade ist, liegt das Bild ${\displaystyle X'}$ von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle f}$ und das Bild von ${\displaystyle {\overline {AX}}}$ ist gleich ${\displaystyle {\overline {AX'}}}$.
• Über die Verhältnistreue folgt, dass ${\displaystyle \left|AX\right|}$ zu ${\displaystyle \left|AP\right|}$ wie ${\displaystyle \left|AX'\right|}$ zu ${\displaystyle \left|AP'\right|}$.
• Mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ergibt sich, dass dann ${\displaystyle P'}$ auf einer Parallele zu ${\displaystyle f}$ durch ${\displaystyle P}$ (also auf ${\displaystyle p}$) liegen muss. Da ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle p'}$ parallel sind und den Punkt ${\displaystyle P'}$ gemeinsam haben, müssen sie identisch sein.

Bildpunkt unter einer perspektiven Affinität

Gegeben sei eine perspektive Affinität über ihre Fixpunktgerade ${\displaystyle a}$ und das Punkt/Bildpunkt-Paar ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle P'}$. Das Bild eines beliebigen Punktes ${\displaystyle Q}$ lässt sich damit wie folgt konstruieren:

• Wähle einen beliebigen Punkt ${\displaystyle A}$ auf der Fixpunktgeraden ${\displaystyle a}$.
• Zeichne die Verbindungsgerade ${\displaystyle {\overline {PA}}}$.
• Das Bild von ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ist aufgrund der Geradentreue der Abbildung wieder eine Gerade. Das Bild von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle A}$ selbst, da ${\displaystyle A}$ auf der Fixgeraden ${\displaystyle a}$ liegt. Damit ist das Bild von ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ die Gerade ${\displaystyle {\overline {AP'}}}$.
• Zeichne eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ durch ${\displaystyle Q}$. Diese schneidet ${\displaystyle a}$ in einem Punkt ${\displaystyle A'}$. Aufgrund der Parallelentreue der Abbildung ist das Bild von ${\displaystyle {\overline {QA'}}}$ eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {AP'}}}$ durch den Punkt ${\displaystyle A'}$. Der gesuchte Punkt ${\displaystyle Q'}$ liegt auf dieser Parallelgeraden.
• Zeichne die Gerade ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$. Sie schneidet ${\displaystyle a}$ in einem Punkt ${\displaystyle S}$ (ist das nicht der Fall, ist eine Sonderbehandlung notwendig). Das Bild dieser Geraden ist ${\displaystyle {\overline {SP'}}}$. Der gesuchte Punkt ${\displaystyle Q'}$ liegt ebenfalls auf dieser Geraden und ist daher der Schnittpunkt von ${\displaystyle {\overline {SP'}}}$ und der Parallele von ${\displaystyle {\overline {AP'}}}$ durch ${\displaystyle {\overline {A'}}}$.

Eine andere Möglichkeit der Konstruktion spart den Hilfspunkt ${\displaystyle A}$ ein und nutzt die Eigenschaft aus, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind:

• Zeichne die Gerade ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$. Da es sich um eine Gerade durch Punkt und Bildpunkt handelt, ist das Bild dieser Geraden die Gerade selbst.
• Zeichne eine Parallele ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ zu ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ durch ${\displaystyle Q}$. Sie schneidet die Fixgerade ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle Q_{a}}$.
• Das Bild von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ ist ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ selbst:
  • Geradentreue: Da ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ parallel zu ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$, verläuft das Bild von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ parallel zum Bild von ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$.
  • ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ ist eine Fixgerade: Das Bild von ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ ist ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ selbst. Daraus folgt, dass das Bild von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ parallel zu sich selbst ist.
  • Da der Punkt ${\displaystyle Q_{a}}$ Teil der Fixpunktgeraden ${\displaystyle a}$ ist, ist das Bild von ${\displaystyle Q_{a}}$ gleich ${\displaystyle Q_{a}}$ selbst.
  • Da das Bild von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ durch ${\displaystyle Q_{a}}$ verläuft und parallel zu sich selbst ist, kann es nur ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ selbst sein.
• Damit ist ${\displaystyle Q'}$ Teil von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$.
• Mit der Überlegung der ersten Konstruktion liegt damit ${\displaystyle Q'}$ auf dem Schnittpunkt von ${\displaystyle {\overline {QQ_{a}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {SP'}}}$ (mit dem Schnittpunkt ${\displaystyle S}$ von ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$ und ${\displaystyle a}$).

Gruppenoperationen

Durch die von einer Affinität geforderten Eigenschaften ergeben sich in natürlicher Weise verschiedene Gruppenoperationen:

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$ operiert als Abbildungsgruppe

1. auf der Punktmenge ${\displaystyle A}$,
2. auf der Menge der affinen Teilräume von ${\displaystyle A}$ einer festen Dimension ${\displaystyle m}$ mit ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$,
3. auf Mengen von Richtungen im affinen Raum, zum Beispiel der Menge aller Scharen paralleler Geraden.

• Die Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$ operiert scharf einfach transitiv auf der Menge der affinen Punktbasen des affinen Raums ${\displaystyle A}$. Das bedeutet hier: Gibt man ${\displaystyle n+1}$ Punkte in allgemeiner Lage (so, dass die Verbindungsvektoren des ersten Punktes mit den übrigen ${\displaystyle n}$ Punkten linear unabhängig sind) vor, dann gibt es genau eine Affinität, bei der die Standardbasis auf diese Punkte (in der vorgegebenen Reihenfolge) abgebildet wird. Daraus ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$ zu berechnen, wenn ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper ist.

Gruppenstruktur

Die Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$

1. ist für ${\displaystyle n>1}$ stets nichtkommutativ,
2. enthält die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ als Untergruppe – die Affinitäten, bei denen der fest gewählte Ursprung ${\displaystyle O}$ Fixpunkt ist, deren Translationsanteil oder Verschiebungsvektor also der Nullvektor ist,
3. kann als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n+1,K)}$ aufgefasst werden,
4. kann als Untergruppe der Projektiven linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)}$ aufgefasst werden – hier gehören jene Projektivitäten zu ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$, die eine feste Hyperebene des projektiven Raumes, die Fernhyperebene als Fixhyperebene auf sich selbst abbilden,
5. enthält die kommutative Untergruppe der Translationen (reine Verschiebungen, deren Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{n}}$ die Einheitsmatrix ist) ${\displaystyle {\mathcal {T}}(K^{n})}$ als Normalteiler,
6. ist inneres semidirektes Produkt von ${\displaystyle {\mathcal {T}}(K^{n})}$ und ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
7. Der Normalteiler ${\displaystyle {\mathcal {T}}(K^{n})}$ der Translationen ist isomorph zur additiven Gruppe ${\displaystyle (K^{n},+)}$ des zugrundeliegenden Vektorraums.
8. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(K^{n})}$ operiert durch Konjugation scharf einfach transitiv auf der Menge von Untergruppen ${\displaystyle \lbrace A_{Z}<{\mathcal {A}}(K^{n}):Z\in A\left(\forall \alpha \in A_{Z}:\;\alpha (Z)=Z\right)\rbrace }$. Dabei ist ${\displaystyle A_{Z}}$ diejenige Untergruppe von ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$, die einen bestimmten Punkt ${\displaystyle Z}$ des affinen Raumes auf sich abbildet. Jede dieser Untergruppen ist zu ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ isomorph.

Gruppenordnung

Ist der Körper ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen, dann ist die Gruppe der Affinitäten ${\displaystyle {\mathcal {A}}(K^{n})}$ endlich und ihre Ordnung ist

${\displaystyle \left|{\mathcal {A}}(K^{n})\right|=q^{n}\cdot \prod _{i=0}^{n-1}\left(q^{n}-q^{i}\right)=q^{n}\cdot \left(q^{n}-1\right)\cdot \left(q^{n}-q\right)\cdot \left(q^{n}-q^{2}\right)\cdots \left(q^{n}-q^{n-1}\right)}$.

Dabei ist der Faktor ${\displaystyle q^{n}}$ die Ordnung der Translationsgruppe ${\displaystyle {\mathcal {T}}(K^{n})\cong (K^{n},+)}$, er ist zugleich der Index ${\displaystyle \left[{\mathcal {A}}(K^{n}):A_{O}\right]=q^{n}}$ der Untergruppe ${\displaystyle A_{O}\cong \mathrm {GL} (n,k)}$, die den Ursprung auf sich abbildet. Die Ordnung dieser Untergruppe liefert die übrigen Faktoren (→siehe Allgemeine lineare Gruppe#Über endlichen Körpern).