Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene

Während sich die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen lässt, lässt sich die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen als Punkte auf einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Da die komplexen Zahlen einen zweidimensionalen reellen Vektorraum definieren, kann die komplexe Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem versehen werden, das von den beiden orthogonalen Vektoren ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle \mathrm {i} }$ aufgespannt wird. Es ist üblich innerhalb diesem die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ über eine waagerechte, und die imaginären Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {i} }$ über eine senkrechte Achse darzustellen. Eine komplexe Zahl ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} }$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ besitzt dann die „horizontale Koordinate“ ${\displaystyle a}$ und die „vertikale Koordinate“ ${\displaystyle b}$, wird also mit dem Zahlenpaar ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$ identifiziert. Entsprechend bildet ${\displaystyle \{1,\mathrm {i} \}}$ eine Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraumes ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen einer Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Subtraktion komplexer Zahlen entspricht einer Vektorsubtraktion. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten offensichtlicher werden wird.

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen:

• Darstellung in kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (a,b)}$, gelegentlich auch algebraische Form genannt, als Summe des reellen ${\displaystyle a}$ und des rein imaginären Anteils ${\displaystyle b}$ mit folgenden Schreibweisen, also

${\displaystyle z=a+b\ \mathrm {i} }$ oder auch ${\displaystyle z=a+\mathrm {i} \ b\ }$.

• Darstellung in Polarkoordinaten bzw. in Polardarstellung ${\displaystyle (r,\varphi )}$ als Produkt des absoluten Betrages ${\displaystyle r}$ gedreht um den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ mit folgenden Schreibweisen:
  • ${\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )}$,
  • ${\displaystyle z=r\,\operatorname {cis} \varphi }$,
  • ${\displaystyle z=r\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }.}$

Hierbei wird der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ auch als Argument der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die Eulersche Formel, die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt den gleichen Sachverhalt dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl ${\displaystyle z=0}$ kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist.

Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist mittels ${\displaystyle 0\not =z=a+b\mathrm {i} =|z|{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} \varphi }}$ und

möglich. Setzt man ${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$, ergo ${\displaystyle \sin(\varphi )={\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$ und ${\displaystyle \cos(\varphi )={\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$, so ist der obere Teil dieser Gleichung die Konsequenz aus der Halbwinkelformel

${\displaystyle \tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {\sin(\varphi )}{1+\cos(\varphi )}}={\frac {\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{1+{\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}={\frac {b}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}\qquad ({\text{falls }}b\neq 0{\text{ oder }}a>0).}$

Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ ${\displaystyle -\pi <\varphi <\pi }$ unter Anwendung des Arkustangens zu ${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{2}}}$ umformen. Ist hingegen ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}<\varphi <{\tfrac {\pi }{2}}}$, also ${\displaystyle z}$ auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung ${\displaystyle \tan(\varphi )={\tfrac {b}{a}}}$ vereinfachend auch zu ${\displaystyle \varphi =\arg(z)=\arctan({\tfrac {b}{a}})}$ aufgelöst werden.

Komplexe Konjugation

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils ${\displaystyle b}$ einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} ,}$ so erhält man die zu ${\displaystyle z}$ konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\,\mathrm {i} }$ (manchmal auch ${\displaystyle z^{*}}$ geschrieben).

Die Konjugation ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,z\mapsto {\bar {z}}}$ ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle ${\displaystyle y,z\in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle {\overline {y+z}}={\bar {y}}+{\bar {z}},\quad {\overline {y\cdot z}}={\bar {y}}\cdot {\bar {z}}.}$

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl ${\displaystyle {\bar {z}}}$ bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von ${\displaystyle z.}$ Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} }$ und ihrer komplex Konjugierten ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ergibt das Quadrat ihres Betrages:

${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=(a+b\,\mathrm {i} )(a-b\,\mathrm {i} )=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}}$

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} }$ und ihrer komplex Konjugierten ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ergibt das 2-Fache ihres Realteils:

${\displaystyle z+{\bar {z}}=(a+b\,\mathrm {i} )+(a-b\,\mathrm {i} )=2a=2\,\operatorname {Re} {\!(z)}}$

Die Differenz aus einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} }$ und ihrer komplex Konjugierten ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ergibt das ${\displaystyle \mathrm {2i} }$-Fache ihres Imaginärteils:

${\displaystyle z-{\bar {z}}=(a+b\,\mathrm {i} )-(a-b\,\mathrm {i} )=2b\,\mathrm {i} =2\,\mathrm {i} \,\operatorname {Im} {\!(z)}}$

Als normierter, metrischer und topologischer Raum

Die durch die Abstandsfunktion ${\displaystyle d_{\mathbb {C} }(z_{1},z_{2}):=|z_{1}-z_{2}|}$ induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ überein, so wie auch die Einschränkung ${\displaystyle d_{\mathbb {R} }}$ von ${\displaystyle d_{\mathbb {C} }}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der Standardmetrik auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ übereinstimmt. Der Betrag einer komplexen Zahl ${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$ berechnet sich durch ${\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, wobei der nichtnegative Wert der Quadratwurzel gewählt wird. Zum Beispiel gilt

${\displaystyle |12+5\mathrm {i} |={\sqrt {12^{2}+5^{2}}}={\sqrt {144+25}}={\sqrt {169}}=13.}$

Beide Räume, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sowie ${\displaystyle \mathbb {R} }$, sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Ordnung

${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist im Gegensatz zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in ${\displaystyle \mathbb {C} }$) festlegen, welche von beiden die „größere“ bzw. die „kleinere“ Zahl ist.

Weitere Eigenschaften

• Der Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von ${\displaystyle \mathbb {R} }$, andererseits ein zweidimensionaler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum. Der Isomorphismus ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}}$ wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um ${\displaystyle \mathbb {C} }$ formell als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu definieren und dann ${\displaystyle \mathrm {i}$ :=(0,1)^{\mathrm {T} }} zu setzen. Dabei wird gleichzeitig festgelegt:

1. Die Drehung der komplexen Ebene am Ursprung um den positiven Winkel ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ führt die positive reelle ${\displaystyle +1}$ in die positiv-imaginäre Einheit ${\displaystyle +\mathrm {i} }$ über.
2. Wenn die positiv-reelle Halbachse in der komplexen Ebene nach rechts geht, dann legt man die positiv-imaginäre Halbachse nach oben. Das ist in Einklang mit dem mathematisch positiven Drehsinn.

• Die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ist vom Grad ${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} ; genauer ist ${\displaystyle \mathbb {C} }$ isomorph zum Faktorring ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$, wobei ${\displaystyle X^{2}+1}$ das Minimalpolynom von ${\displaystyle \mathrm {i} }$ über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist. Ferner bildet ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bereits den algebraischen Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Als ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum besitzt ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die Basis ${\displaystyle \{1,\mathrm {i} \}}$. Daneben ist ${\displaystyle \mathbb {C} }$ wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum mit Basis ${\displaystyle \{1\}}$.

• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ und ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}+1=0}$. In diesem Sinne kann ${\displaystyle \mathrm {i} }$ (aber auch ${\displaystyle \mathrm {-i} }$) als „Wurzel aus ${\displaystyle -1}$“ aufgefasst werden.

Addition

Für zwei komplexe Zahlen ${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$ und ${\displaystyle w=c+d\mathrm {i} }$ gilt

${\displaystyle z+w=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i} \ }$.

Addition und Subtraktion sind in Polardarstellung nicht ohne Weiteres möglich. Es ist vorher eine Umrechnung in die kartesische Form und ggf. danach eine Rückrechnung in die Polarform empfehlenswert. Für ${\displaystyle z_{1}=r_{1}e^{\mathrm {i} \varphi _{1}}}$ und ${\displaystyle z_{2}=r_{2}e^{\mathrm {i} \varphi _{2}}}$ erhält man

${\displaystyle z_{1}\pm z_{2}=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}$

mit

${\displaystyle r\$ :={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\pm 2r_{1}r_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}\quad } und

${\displaystyle \varphi$ :=\operatorname {arctan2} \;\left(r_{1}\cos \varphi _{1}\pm r_{2}\cos \varphi _{2},\ r_{1}\sin \varphi _{1}\pm r_{2}\sin \varphi _{2}\right)\ } unter Nutzung der arctan2-Funktion.

Multiplikation

Für zwei komplexen Zahlen ${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$ und ${\displaystyle w=c+d\mathrm {i} }$ folgt durch direktes Ausmultiplizieren

${\displaystyle {\begin{aligned}z\cdot w&=(a+b\mathrm {i} )\cdot (c+d\mathrm {i} )=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} \end{aligned}}}$,

wobei im letzten Schritt ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ zu beachten ist.

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ${\displaystyle z_{1}=r_{1}e^{\mathrm {i} \varphi _{1}}}$ und ${\displaystyle z_{2}=r_{2}e^{\mathrm {i} \varphi _{2}}}$ in Polarform gilt

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}\ }$.

Division

Für die Division der komplexen Zahl ${\displaystyle z}$ durch die komplexe Zahl ${\displaystyle w}$ mit ${\displaystyle w\neq 0}$ erweitert man den Bruch mit der zum Nenner ${\displaystyle w}$ konjugiert komplexen Zahl ${\displaystyle {\bar {w}}=c-d\,\mathrm {i} }$. Der Nenner wird dadurch reell (und ist das Quadrat des Betrages von ${\displaystyle c+d\,\mathrm {i} }$) und die Division lässt sich auf den vorherigen Fall zurückführen:

${\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z\cdot {\bar {w}}}{\underbrace {w\cdot {\bar {w}}} _{\text{reell}}}}={\frac {(a+b\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}{(c+d\,\mathrm {i} )(c-d\,\mathrm {i} )}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\,\mathrm {i} \ .}$

Alternativ gilt entsprechend zur Multiplikation bei ${\displaystyle r_{2}\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}\ .}$

Rechenbeispiele

Addition:

${\displaystyle (5+3\mathrm {i} )+(4+2\mathrm {i} )=(5+4)+(3+2)\mathrm {i} =9+5\mathrm {i} }$

Subtraktion:

${\displaystyle (5+3\mathrm {i} )-(4+2\mathrm {i} )=(5-4)+(3-2)\mathrm {i} =1+1\mathrm {i} =1+\mathrm {i} }$

Multiplikation:

${\displaystyle (5+3\mathrm {i} )\cdot (4+2\mathrm {i} )=(5\cdot 4-3\cdot 2)+(5\cdot 2+3\cdot 4)\mathrm {i} =14+22\mathrm {i} }$

Division:

${\displaystyle {\frac {(5+3\mathrm {i} )}{(4+2\mathrm {i} )}}={\frac {(5+3\mathrm {i} )}{(4+2\mathrm {i} )}}\cdot {\frac {(4-2\mathrm {i} )}{(4-2\mathrm {i} )}}={\frac {(20+6)+(12\mathrm {i} -10\mathrm {i} )}{4^{2}+2^{2}}}={\frac {26+2\mathrm {i} }{20}}={\frac {26}{20}}+{\frac {2}{20}}\mathrm {i} ={\frac {13}{10}}+{\frac {\mathrm {i} }{10}}}$.

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

Paare reeller Zahlen

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ der geordneten reellen Zahlenpaare ${\displaystyle z=(a,b)}$ wird neben der Addition

${\displaystyle (a,b)+(c,d):=(a+c,\ b+d)}$

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d):=(a\cdot c-b\cdot d,\ a\cdot d+b\cdot c)}$

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}}$, und ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}$ wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen. Die imaginäre Einheit wird dann durch ${\displaystyle \mathrm {i}$ :=(0,1)} definiert.

Da ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}=\{1,\mathrm {i} \}}$ eine Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bilden, lässt sich ${\displaystyle z}$ damit als Linearkombination

${\displaystyle z=1\cdot (a,0)+\mathrm {i} \cdot (b,0)=a+\mathrm {i} b}$

darstellen.

Polynome: Adjunktion

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Hintergrund ist der surjektive Einsetzungshomomorphismus ${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {i} }$, der als Kern das maximale Ideal ${\displaystyle (X^{2}+1)}$ hat. Mit dem Homomorphiesatz ergibt sich dann die behauptete Isomorphie.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion.

Matrizen

Die Menge der ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen der Form

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}=a\cdot E+b\cdot I}$  mit  ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit ${\displaystyle 1}$ bzw. die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ durch die Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ bzw. die Matrix ${\displaystyle I}$ dargestellt. Daher gilt:

${\displaystyle \operatorname {Re} (Z)=a={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (Z)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (Z)=b}$

${\displaystyle I^{2}=-E}$

${\displaystyle \operatorname {abs} (Z)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {\det Z}}}$

${\displaystyle {\overline {Z}}={\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}=Z^{\top }}$

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen. Diese Darstellung spielt eine entscheidende Rolle bei Holomorphen Funktion im Zusammenhang der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}}.}$

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ in der gaußschen Zahlenebene.

Komplexe Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines (projektiven) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind.

In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, wellenlängenabhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder dem komplexen Brechungsindex zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potentialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus.

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung.

In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet.

Körpertheorie und algebraische Geometrie

Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.

Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind (ringtheoretisch) isomorph. Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität ${\displaystyle \aleph }$ des Kontinuums. Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa als Erweiterung des algebraischen Abschlusses der rationalen Zahlen um ${\displaystyle \aleph }$ viele transzendente Elemente möglich. Eine weitere Konstruktion liefert ein Ultraprodukt: Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters. Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 ist, die Kardinalität des Kontinuums folgt aus mengentheoretischen Überlegungen.

Unter dem Schlagwort Lefschetz-Prinzip werden verschiedene Sätze zusammengefasst, die es erlauben, Ergebnisse der algebraischen Geometrie, die über den komplexen Zahlen bewiesen werden, auf andere algebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0 zu übertragen (was maßgeblich auf der Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 aufbaut). Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten. Obige Ultraproduktkonstruktion erlaubt die Übertragung von Ergebnissen im Fall einer Charakteristik ungleich 0 auf die komplexen Zahlen.

Spektraltheorie und Funktionalanalysis

Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist. In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen.

Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen von Gruppen auf komplexen Hilberträumen.

Funktionentheorie und komplexe Geometrie

Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie, die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen. Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion. In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle.

Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, d. h. beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese sogenannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip).