Linearität

Eine unitäre Abbildung ist linear, das heißt für alle Vektoren ${\displaystyle u,v\in V}$ und Skalare ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle f(au+bv)=af(u)+bf(v)}$.

Es gilt nämlich aufgrund der Sesquilinearität und der Hermitizität des Skalarprodukts

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle f(u+v)-f(u)-f(v),f(u+v)-f(u)-f(v)\rangle =\\&=\langle f(u+v),f(u+v)\rangle -2\operatorname {Re} \langle f(u+v),f(u)\rangle -2\operatorname {Re} \langle f(u+v),f(v)\rangle +\langle f(u),f(u)\rangle +2\operatorname {Re} \langle f(u),f(v)\rangle +\langle f(v),f(v)\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\operatorname {Re} \langle u+v,u\rangle -2\operatorname {Re} \langle u+v,v\rangle +\langle u,u\rangle +2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\\&=\langle u+v,u+v\rangle -2\langle u+v,u+v\rangle +\langle u+v,u+v\rangle =0\end{aligned}}}$

sowie

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle f(au)-af(u),f(au)-af(u)\rangle =\langle f(au),f(au)\rangle -2\operatorname {Re} \langle f(au),af(u)\rangle +\langle af(u),af(u)\rangle =\\&=\langle f(au),f(au)\rangle -2{\bar {a}}\operatorname {Re} \langle f(au),f(u)\rangle +|a|^{2}\langle f(u),f(u)\rangle =\langle au,au\rangle -2\langle au,au\rangle +\langle au,au\rangle =0.\end{aligned}}}$

Aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann die Additivität und die Homogenität der Abbildung.

Injektivität

Der Kern einer unitären Abbildung enthält nur den Nullvektor, denn für ${\displaystyle v\in \operatorname {ker} f}$ gilt

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\langle f(v),f(v)\rangle =\langle 0,0\rangle =0}$

und aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann ${\displaystyle v=0}$. Eine unitäre Abbildung ist demnach stets injektiv. Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ endlichdimensional mit der gleichen Dimension, dann gilt aufgrund des Rangsatzes

${\displaystyle \dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)=\dim \mathrm {im} (f)}$

und somit ist ${\displaystyle f}$ auch surjektiv und damit bijektiv. Unitäre Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Räumen müssen jedoch nicht notwendigerweise surjektiv sein; ein Beispiel hierfür ist der Rechtsshift.

Normerhaltung

Eine unitäre Abbildung erhält die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$,

denn es gilt

${\displaystyle \|f(v)\|^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}}$.

Umgekehrt ist jede lineare Abbildung zwischen zwei komplexen Skalarprodukträumen, die die Skalarproduktnorm erhält, unitär. Es gilt nämlich aufgrund der Sesquilinearität und der Hermitizität des Skalarprodukts einerseits

${\displaystyle \|f(u+v)\|^{2}=\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\|v\|^{2}}$

und mit der Linearität der Abbildung andererseits

${\displaystyle {\begin{aligned}\|f(u+v)\|^{2}&=\|f(u)+f(v)\|^{2}=\langle f(u)+f(v),f(u)+f(v)\rangle =\\&=\|f(u)\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle f(u),f(v)\rangle +\|f(v)\|^{2}=\|u\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle f(u),f(v)\rangle +\|v\|^{2}.\end{aligned}}}$

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen folgt daraus dann die Übereinstimmung der Realteile. Durch eine analoge Betrachtung von ${\displaystyle f(u+iv)}$ folgt auch die Übereinstimmung der Imaginärteile und damit die Unitarität der Abbildung.

Isometrie

Aufgrund der Normerhaltung und der Linearität erhält eine unitäre Abbildung auch den Abstand zweier Vektoren, denn für die von der Norm induzierte Metrik ${\displaystyle d}$ gilt

${\displaystyle d(f(u),f(v))=\|f(u)-f(v)\|=\|f(u-v)\|=\|u-v\|=d(u,v)}$.

Eine unitäre Abbildung stellt damit eine Isometrie dar. Umgekehrt ist jede lineare Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen unitär, wenn sie Abstände erhält. Aus der Polarisationsformel folgt nämlich

${\displaystyle {\begin{aligned}4\langle f(u),f(v)\rangle &=\|f(u)+f(v)\|^{2}-\|f(u)-f(v)\|^{2}+i\|f(u)+if(v)\|^{2}-i\|f(u)-if(v)\|^{2}=\\&=\|f(u)-f(-v)\|^{2}-\|f(u)-f(v)\|^{2}+i\|f(u)-f(-iv)\|^{2}-i\|f(u)-f(iv)\|^{2}=\\&=\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}=4\langle u,v\rangle .\end{aligned}}}$

Existiert eine bijektive unitäre Abbildung zwischen zwei Skalarprodukträumen, dann sind die beiden Räume isometrisch isomorph.

Gruppeneigenschaften

Eine unitäre Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ stellt einen Endomorphismus dar. Die Hintereinanderausführung ${\displaystyle f\circ g}$ zweier unitärer Endomorphismen ist wiederum unitär, denn es gilt

${\displaystyle \langle (f\circ g)(u),(f\circ g)(v)\rangle =\langle f(g(u)),f(g(v))\rangle =\langle g(u),g(v)\rangle =\langle u,v\rangle }$.

Ist ein unitärer Endomorphismus bijektiv, dann ist seine Inverse ${\displaystyle f^{-1}}$ aufgrund von

${\displaystyle \langle f^{-1}(u),f^{-1}(v)\rangle =\langle f(f^{-1}(u)),f(f^{-1}(v))\rangle =\langle u,v\rangle }$

ebenfalls unitär. Die bijektiven unitären Endomorphismen von ${\displaystyle V}$ bilden demnach eine Untergruppe der Automorphismengruppe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$. Ist der Raum endlichdimensional mit der Dimension ${\displaystyle n}$, so ist diese Gruppe isomorph zur unitären Gruppe ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$.

Eigenwerte

Ist ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ein Eigenwert einer unitären Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ mit zugehörigem Eigenvektor ${\displaystyle v}$, so gilt

${\displaystyle \|v\|=\|f(v)\|=\|\lambda v\|=|\lambda |\,\|v\|}$

und damit ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Die Eigenwerte einer unitären Abbildung haben also alle den Betrag eins und sind demnach von der Form

${\displaystyle \lambda =e^{it}}$

mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Abbildungsmatrix

Die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f}}$ einer unitären Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ bezüglich einer Orthonormalbasis ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ von ${\displaystyle V}$ ist stets unitär, das heißt

${\displaystyle A_{f}^{H}A_{f}=I}$,

denn es gilt

${\displaystyle \langle f(v),f(w)\rangle =(A_{f}x)^{H}(A_{f}y)=x^{H}A_{f}^{H}A_{f}y=x^{H}y=\langle v,w\rangle }$,

wobei ${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n}}$ und ${\displaystyle w=y_{1}e_{1}+\ldots +y_{n}e_{n}}$ sind.