Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für ${\displaystyle x\geq 0}$ gegeben durch

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=1-(1+bx)^{-a}}$.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: ${\displaystyle P(X>x)=1-F(x)=(1+bx)^{-a}}$.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{b(a-1)}}.}$

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)={\frac {a}{b^{2}(a-1)^{2}(a-2)}}.}$

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)}}={\frac {1}{b(a-1)}}{\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.}$

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {a}{a-3}}-3{\frac {a^{2}}{(a-2)(a-1)}}+2{\frac {a^{3}}{(a-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.