Ein vollkommen perfektes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit folgenden Zusatzeigenschaften:

1. die Ordnung der Quadrate ist ein Vielfaches von 4
2. jedes 2×2-Unterquadrat (einschließlich jener, die durch Umbruch an den Seiten erzeugt werden können) ergibt dieselbe Summe 2·(1 + n²)
3. für jeden Wert a liegt das Komplement 1 + n² – a dieses Wertes diagonal um n/2 versetzt

Beispiele

384 vollkommen perfekte magische Quadrate in 1 bis 16 Darstellung und Farbkodierung: (16 & 1) – (9 & 8) – (5 & 12) – (3 & 14) – (2 & 15):

Diese 4×4-Quadrate (ein beliebiger 4×4-Ausschnitt) sind teilweise seit dem 11. bzw. 12. Jahrhundert in Indien bekannt. Durch Verschiebungen (auch in Einzelschritten, jeweils auch nur eine Zeile oder eine Spalte), durch Drehen, Spiegeln bzw. durch die freie Kombination dieser Umwandlungen lassen sich 384 = 4!·16 Quadrate erzeugen. Die Umwandlungen (Transformationen) von einem Quadrat in ein anderes bilden eine nichtkommutative geschlossene Gruppe in Bezug auf deren Verknüpfung.

Eigenschaften

Veröffentlichte Arbeiten zu den Eigenschaften der vollkommen perfekten magischen Quadrate gibt es von Kathleen Ollerenshaw und David S. Brée sowie von T. V. Padmakumar, Indien.

Bei den 4×4-Quadraten gibt es eine eindeutige Zuordnung jedes Wertes zu seinen Nachbarn (oben, unten, rechts und links). Diese „Nachbarschaftsrelation“ lässt sich allgemein zu einem Algorithmus ausbauen, mit dem z. B. für Quadrate der Ordnung ${\displaystyle 2^{n}}$ insgesamt ${\displaystyle 2^{n}!\cdot 2^{2n}}$ für ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle n=3}$ bzw. ${\displaystyle 16\cdot 2^{n}!\cdot 2^{2n}}$ für ${\displaystyle n>3}$ vollkommen perfekte magische Quadrate generiert werden können, ohne Exhaustionsmethoden anzuwenden.

Literatur

• Kathleen Ollerenshaw, David S. Brée: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration. Institute of Mathematics and its Applications, Southend-on-Sea 1998, ISBN 0-905091-06-X.
• T. V. Padmakumar: Number Theory and Magic Squares. Sura books, Indien 2008, ISBN 978-81-8449-321-4, (surabooks.com (Memento vom 25. Februar 2012 im Internet Archive)).

Weblinks

• Harvey Heinz: Most-perfect Magic Squares
• T.V.Padmakumar: Arbeit über Quadrate des Typs „Sri Rama Chakra“
• T.V.Padmakumar: Strongly Magic Squares. (PDF; 1,8 MB)
• The 4×4 Pan-Magic Squares
• Michael Dörmann: A perfect magic square. (Online Generator – Magisches Quadrat 4×4 mit JavaScript)