Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension ${\displaystyle n\geq 3}$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

${\displaystyle deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}}$

und Gleichheit nur dann, wenn ${\displaystyle f}$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn ${\displaystyle f\colon (M_{1},g_{1})\to (M_{2},g_{2})}$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension ${\displaystyle n\geq 3}$ mit

${\displaystyle Ric(g_{1})\geq -(n-1)g_{1},-a\leq K(g_{2})\leq -1}$

für eine Konstante ${\displaystyle a\geq 1}$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

${\displaystyle deg(f)\leq {\frac {Vol(M_{1})}{Vol(M_{2})}}}$

und Gleichheit nur dann, wenn ${\displaystyle f}$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ eine geschlossene hyperbolische Fläche und ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}\Sigma _{g}\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{2})=PSL(2,\mathbb {R} )}$ eine Darstellung. Dann gilt

${\displaystyle vol(\rho )\leq vol(\Sigma _{g})}$

und Gleichheit nur dann, wenn ${\displaystyle \rho }$ diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension ${\displaystyle n\geq 3}$ und ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to Isom^{+}(\mathbb {H} ^{n})=SO(n,1)_{0}}$ eine Darstellung. Dann gilt

${\displaystyle vol(\rho )\leq vol(M)}$

und Gleichheit nur dann, wenn ${\displaystyle \rho }$ diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei ${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/K}$ ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit ${\displaystyle G}$ ohne ${\displaystyle SO(n,1)}$- oder ${\displaystyle SU(n,1)}$-Faktor, und ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to G}$ eine Darstellung. Dann gilt

${\displaystyle vol(\rho )\leq vol(M)}$

und Gleichheit nur dann, wenn ${\displaystyle \rho }$ diskret und treu ist.

Literatur

• W. Goldman: Topological components of spaces of representations. Invent. Math. 93, 1988, S. 557–607.
• G. Besson, G. Courteois, S. Gallot: Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement negative. G.A.F.A. 5, 1995, S. 731–799.
• N. Dunfield: Cyclic surgery, degrees of maps of character curves, and volume rigidity for hyperbolic manifolds. Invent. Math. 136, 1999, S. 623–657.
• J. Boland, C. Connell, J. Souto: Volume rigidity for finite volume manifolds. Amer. J. Math. 127, 2005, S. 535–550.
• S. Francaviglia, B. Klaff: Maximal volume representations are Fuchsian. Geom. Dedic. 117, 2006, S. 111–124.