Gleichungen

Die Vorwärtskinematik bezieht sich auf den Prozess des Erhaltens der Position und Geschwindigkeit des Endeffektors angesichts der bekannten Gelenkwinkel und Winkelgeschwindigkeiten. Wenn beispielsweise Schulter- und Ellbogengelenkwinkel für den Arm in der Sagittalebene angegeben sind, besteht das Ziel darin, kartesische Koordinaten von Handgelenk oder Faust zu finden.

In unserem speziellen Fall suchen wir nach einer Koordinatentransformation

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}\rightarrow x_{EE},y_{EE}}$

In diesem Beispiel befindet sich das erste Gelenk am Koordinatenursprung. Daher sind die Koordinaten vom zweiten Gelenk

${\displaystyle x_{2}=L_{1}\cdot \cos(\theta _{1})}$

${\displaystyle y_{2}=L_{1}\cdot \sin(\theta _{1})}$

und die Koordinaten des Endeffektors

${\displaystyle x_{EE}=x_{2}+L_{2}\cdot \cos(\theta _{1})+\theta _{2}=L_{1}\cdot \cos(\theta _{1})+L_{2}\cdot \cos(\theta _{1})+\theta _{2}}$

${\displaystyle y_{EE}=y_{2}+L_{2}\cdot \sin(\theta _{1})+\theta _{2}=L_{1}\cdot \sin(\theta _{1})+L_{2}\cdot \sin(\theta _{1})+\theta _{2}}$

Durch Ableitung nach der Zeit erhält man nun die Geschwindigkeit des Endeffektors:

${\displaystyle {\dot {x}}_{EE}=-{\dot {\theta _{1}}}\cdot L_{1}\cdot \sin(\theta _{1})-{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\cdot L_{2}\cdot \sin(\theta _{1})+\theta _{2}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{EE}={\dot {\theta _{1}}}\cdot L_{1}\cdot \cos(\theta _{1})+{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\cdot L_{2}\cdot \cos(\theta _{1})+\theta _{2}}$

Wenn man anstelle eines ebenen Systems ein komplexeres dreidimensionales System betrachten würde, wäre diese Berechnung anspruchsvoller. Darüber hinaus kann es vorkommen, dass die Anzahl der Freiheitsgrade von Eingabevariablen und Ausgabevariablen nicht übereinstimmt. Beispielsweise könnten beide Gelenke zwei Freiheitsgrade haben, die eine Trajektorie mit drei Freiheitsgraden eines punktförmigen Endeffektors definieren. Basierend auf der Eingabe der Gelenke mit vier Freiheitsgraden würde man daher nur eine Ausgabe mit drei Freiheitsgraden erhalten. Diese Redundanz würde einfach bedeuten, dass es unendlich viele Lösungen für die Gelenkwinkel für eine einzelne Position des Endeffektors geben kann. Dies kann als unendlich viele mögliche Positionen vom zweiten Gelenk entlang des Kreises dargestellt werden, die als Schnittpunkt zweier auf dem ersten Gelenk und Endeffektor zentrierter Kugeln mit Radien erhalten werden, die den Längen der entsprechenden Glieder entsprechen.

Der kinematische Zustand oder nur der Zustand des Manipulators ist typischerweise vollständig mit Gelenkwinkeln und Winkelgeschwindigkeiten definiert. In bestimmten Fällen, wie hier, ist der Zustand auch vollständig mit der Position und Geschwindigkeit des Endeffektors definiert. Wie erläutert gilt das für den allgemeinen Fall nicht.