Walsh-Kaczmarz-Funktionen

Die Walsh-Funktionen in sequenzieller Anordnung, auch als Walsh-Kaczmarz-Funktionen bezeichnet und wie in nebenstehender Abbildung für ${\displaystyle k=}$ 0 bis 7 dargestellt, werden im Intervall [0,1] definiert und außerhalb periodisch fortgesetzt. Im ${\displaystyle i}$-ten Teilintervall lautet der Funktionswert:

${\displaystyle {\rm {wal}}_{\omega }(k,t)=(-1)^{b}\,}$

mit:

${\displaystyle b=\sum _{l=1}^{n}(k_{l}\oplus k_{l+1})\cdot i_{n-l+1}}$

wobei ${\displaystyle \oplus }$ die Exklusiv-Oder-Verknüpfung (XOR) darstellt. ${\displaystyle ({\rm {wal}}_{\omega }(k,t))_{k}}$ bildet in ${\displaystyle L_{2}([0,1])}$ ein orthonormales Funktionensystem, da mit ${\displaystyle \delta _{mn}}$ dem Kronecker-Delta, gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {wal}}_{\omega }(m,t)\cdot {\rm {wal}}_{\omega }(n,t)\mathrm {d} t=\delta _{mn}}$

Walsh-Paley-Funktionen

Die Walsh-Funktionen in natürlicher Anordnung, auch als Walsh-Paley-Funktionen bezeichnet, sind leichter zu bilden, weisen aber keine Analogie zur Fourier-Transformation auf. Im ${\displaystyle i}$-ten Teilintervall lautet der Funktionswert:

${\displaystyle {\rm {wal}}_{n}(k,t)=(-1)^{a}\,}$

mit:

${\displaystyle a=\sum _{l=1}^{n}k_{l}\cdot i_{n-l+1}}$