Der Begriff der wesentlichen Erweiterung stammt aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie, genauer aus der Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement. Dort werden wesentliche Erweiterungen hauptsächlich dazu benötigt, injektive Hüllen zu definieren.

Definition

Sei R ein kommutativer Ring mit einem vom Nullelement verschiedenen Einselement und seien M und N zwei R-Moduln mit

${\displaystyle M\subseteq N.}$

Dann heißt N wesentliche Erweiterung von M, wenn für jeden R-Untermodul U von N mit ${\displaystyle U\neq 0}$ gilt:

${\displaystyle U\cap M\neq 0.}$

Bemerkungen

Sind M und N zwei R-Moduln mit ${\displaystyle M\subseteq N\,}$. Dann gibt es einen Untermodul E von N, der maximale wesentliche Erweiterung von M in N ist. Ist N ein injektiver Modul, so ist auch E injektiv.

Wesentliche Erweiterungen graduierter Moduln über graduierten Ringen werden analog definiert.

Literatur

• David Eisenbud: Commutative algebra with a view toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, no. 150, Springer Verlag, New York 2004, S. 628, 631. ISBN 0-387-94269-6