Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

Die 2er-Spinoren und sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse gekoppelt:

Hierbei ist und , wobei die drei Pauli-Matrizen sind und die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse (), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

Bei physikalischen Experimenten, bei denen die schwache Kernkraft beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall das Neutrino und das rechtshändige Antineutrino.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt wird:

Dabei bezeichnen

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

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