Messung mit Widerstandsdekaden

Wenn der zu messende Widerstand ${\displaystyle R_{m}}$ auf der Position von ${\displaystyle R_{1}}$ liegt, dann gilt

${\displaystyle R_{m}={\frac {R_{2}}{R_{4}}}\ \cdot R_{3}}$

und man stellt bei der gezeigten Schaltung mit ${\displaystyle R_{3}}$ einen vierstelligen Wert ein und mit ${\displaystyle R_{2}:R_{4}}$ den Messbereich, sinnvollerweise einen Zehnerpotenzfaktor, z. B. 1:1 oder 1:10 oder 100:1. Der Einsatzbereich deckt etwa die Spanne ${\displaystyle R_{m}=1\;\Omega \;\dots \;1\;\mathrm {M} \Omega }$ ab.

Die letzte Gleichung ist unabhängig von der Speisespannung ${\displaystyle U_{0}}$. Dennoch ist zu beachten:

• ${\displaystyle U_{0}}$ soll so groß sein, dass bei fast abgeglichener Brücke eine Verstellung von ${\displaystyle R_{3}}$ um einen Schritt auf der niederwertigsten Stelle noch eine erkennbare Änderung der Brückenquerspannung ${\displaystyle U_{5}}$ hervorruft.
• ${\displaystyle U_{0}}$ soll so klein sein, dass die unvermeidliche Erwärmung der Widerstände diese nicht erkennbar verändert.

Die Brücke kann auch mit Tonfrequenz statt mit Gleichspannung betrieben und als Indikator ein Kopfhörer verwendet werden, der gleichfalls ein sehr empfindlicher Indikator ist. Allerdings ist dann die Richtung, in der abgeglichen werden muss, nicht mehr erkennbar, da mit dem Ohr die Phasenlage nicht erkannt werden kann.

Messung mit Schleifdraht-Potentiometer

Die durch Gustav Kirchhoff (1824–1887) eingeführte Variante benötigt nur einen Präzisionswiderstand und ein Schleifdraht-Potentiometer. Der Widerstandsdraht ist auf ein Brett gespannt oder auf ein Rohr gewickelt. Die Enden des Drahtes sind mit der Versorgungsspannung verbunden und der Schleifkontakt greift die Teilspannung des Potentiometers ab. Das Längenverhältnis ${\displaystyle a/b}$ entspricht dabei dem Widerstandsverhältnis ${\displaystyle R_{1}/R_{2}}$ im Grundaufbau. Im abgeglichenen Zustand berechnet sich der unbekannte Widerstand ${\displaystyle R_{x}}$ wie folgt:

${\displaystyle R_{x}={\frac {a}{b}}\cdot R_{v}}$

Die Genauigkeit hängt im Wesentlichen von dem mechanischen Verhältnis ${\displaystyle a/b}$ und dem Vergleichswiderstand ${\displaystyle R_{v}}$ ab. In der historischen Anwendung diente ein Galvanometer zur Anzeige der Verstimmung. Um den Nullabgleich präziser durchzuführen, befindet sich ein Taster in Reihe zum Indikator, da eine Bewegung des Zeigers besser erkennbar ist als eine Position.

Der Vergleichswiderstand ${\displaystyle R_{v}}$ sollte in der Größenordnung wie ${\displaystyle R_{x}}$ liegen, weil die Genauigkeit zu den Enden des Schleifdrahts nachlässt.

Weiterentwicklung

Die Wheatstonesche Messbrücke wird heute allenfalls noch für Präzisionsmessungen verwendet, siehe auch Kalibrierung. Durch die hohe Genauigkeit der Digitalmultimeter und der Verfügbarkeit von Präzisions-Operationsverstärkern können direkt anzeigende Messverfahren fast überall eingesetzt werden.

Wheatstonesche Messbrücken als Labor-Messgeräte wie das abgebildete sind daher nicht mehr im Handel und professionellen Gebrauch, die Abwandlung zur Ausschlag-Widerstandsmessbrücke dagegen schon.

Die Wheatstone-Brücke ist zur Messung kleiner Widerstände (Richtwert < 1 Ω) nicht geeignet, da die Leitungen und Anschlussklemmen, die den zu messenden Widerstand ${\displaystyle R_{x}}$ mit dem Messgerät verbinden, die Messung verfälschen. Aus der Wheatstone-Brücke entstand dafür die Thomson-Brücke. Auch diese ist nicht mehr im Handel und professionellen Gebrauch. Zu einer Alternative siehe Widerstandsmessgerät.

Anstelle von ohmschen Widerständen mit einer Gleichspannung zur Versorgung können auch allgemein Impedanzen mit Wechselspannungsversorgung gemessen werden, siehe Wechselspannungsbrücke.

Rechnung

In diesen Fällen entsteht eine Spannung ${\displaystyle U_{5}}$ als Maß für eine Widerstandsänderung ${\displaystyle \Delta R}$; die Brücke arbeitet nach der Ausschlagsmethode. Konkret: Wenn sich aus dem abgeglichenen Zustand heraus ${\displaystyle R_{1}}$ ändert, ${\displaystyle R_{1}}$ → ${\displaystyle R_{1}+\Delta R_{1}}$, dann entsteht gemäß der eingangs aufgestellten Gleichung

${\displaystyle {\frac {U_{5}}{U_{0}}}={\frac {R_{1}+\Delta R_{1}}{R_{1}+\Delta R_{1}+R_{2}}}-{\frac {R_{3}}{R_{3}+R_{4}}}}$

Mit der Verstimmung ${\displaystyle v={\frac {\Delta R_{1}}{R_{1}}}}$ und dem Brückenverhältnis ${\displaystyle k={\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {R_{4}}{R_{3}}}}$ wird

${\displaystyle {\frac {U_{5}}{U_{0}}}={\frac {1+v}{1+v+k}}-{\frac {1}{1+k}}=v{\frac {k}{(1+v+k)(1+k)}}}$

Solange      ${\displaystyle |v|\ll 1+k}$      oder      ${\displaystyle |\Delta R_{1}|\ll R_{1}+R_{2}}$      gilt die Näherung

${\displaystyle {\frac {U_{5}}{U_{0}}}\approx v{\frac {k}{(1+k)^{2}}}\quad$ ;}       dann ist ${\displaystyle U_{5}}$ proportional zu ${\displaystyle \Delta R_{1}}$!

Die Funktion ${\displaystyle y=f(k)={\frac {k}{(1+k)^{2}}}}$ hat ein Maximum bei ${\displaystyle k=1}$ und hat dort den Wert ${\displaystyle f(1)={\tfrac {1}{4}}}$. Das heißt, dass die Brücke ein Maximum an Empfindlichkeit hat, wenn sie symmetrisch ist (bei Abgleich alle Widerstände gleich groß = ${\displaystyle R}$). Dann ist

${\displaystyle {\frac {U_{5}}{U_{0}}}={\frac {1}{4}}\ {\frac {\Delta R_{1}}{R}}}$

Beispiel: Relative Widerstandsänderung ${\displaystyle \Delta R_{1}/R=10^{-3};\ U_{0}=10\;\mathrm {V} }$. Dann ${\displaystyle U_{5}=2{,}5\;\mathrm {mV} }$. Das sind noch 25 Digit (Ziffernschritte), falls das Spannungsmessgerät den Messbereich 200 mV in 2000 Digit auflöst.

Das bedeutet: Ohne den Widerstand genau zu kennen, können kleine Änderungen mit derjenigen Qualität bestimmt werden, mit der ${\displaystyle U_{5}}$ bestimmbar ist. Während die Subtraktion von zwei fast gleich großen Messwerten immer zu sehr unzuverlässigen Ergebnissen führt, wird hier die Differenz in der Schaltung gebildet und ist als solche unmittelbar und zuverlässig messbar!

Erlaubt man allen vier Widerständen jeweils eine kleine Änderung aus dem Abgleich heraus, dann erhält man in der oben zugrundegelegten Anordnung bei einer symmetrischen Brücke

${\displaystyle {\frac {U_{5}}{U_{0}}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {\Delta R_{1}}{R}}-{\frac {\Delta R_{2}}{R}}-{\frac {\Delta R_{3}}{R}}+{\frac {\Delta R_{4}}{R}}\right)}$

Merkregel für die Vorzeichen: Ausgehend vom Einfluss der Änderung eines beliebigen Widerstands auf ${\displaystyle U_{5}}$ geht die Änderung eines in der Brücke benachbarten Widerstands mit entgegengesetztem Vorzeichen ein und die Änderung des diagonal gegenüberliegenden Widerstands mit gleichem Vorzeichen.

Beispiel: Ändern sich zwei benachbarte Widerstände um je +2 ‰, dann hebt sich ihr Einfluss auf ${\displaystyle U_{5}}$ auf.

Anwendungen in der Elektronik

Auf diese Gleichung wird in der Mikroelektronik und in der Sensortechnik in ganz erheblichem Maße aufgebaut. Auf Dehnung empfindliche Widerstände können auf Verformung je nach Applikation der Widerstände mit positiver oder negativer Widerstandsänderung reagieren und sich in der Gleichung ergänzen, während sich Temperatureinflüsse, die auf alle gleich wirken, aufheben. Widerstände, die sich auf einer elastischen Unterlage befinden, erfassen damit Kräfte, Drücke, Drehmomente usw. Kleine relative Längenänderungen unter 10⁻⁴ können damit noch erfasst werden. Das Bild zeigt ein Druckmessgerät in dieser Technik: Eine Membran aus Silizium, das hochwertige elastische Eigenschaften aufweist, wird durch Druck verformt; an Stellen mit besonders starker Biegung sind Widerstände eindiffundiert; mit jeweils drei Bonddrähten entsteht jeweils die Hälfte einer Wheatstone-Brücke.

Bei der Temperaturmessung mittels Widerstandsthermometer wird nur einer der Widerstände der Brücke veränderbar ausgeführt, in diesem Fall veränderbar durch die Temperatur. Der Messeffekt ist recht komfortabel: Der Widerstand eines genormten Platin-Widerstandsthermometers verdoppelt sich in der Spanne 0 … 266 °C. Deshalb kann mit unsymmetrischer Brücke, ${\displaystyle k\gg 1}$, gearbeitet werden, was die Empfindlichkeit vermindert, aber den Bereich vergrößert, in dem die lineare Näherung gilt. Außerdem sorgt bei Anschluss in Dreileiterschaltung die Brückenschaltung für die Eliminierung der Temperatureinflüsse auf die Widerstände der Zuleitungen.