Wesentliche Ideen des Beweises

Die wichtigsten Schritte des poincaréschen Beweis sind (in heutiger Notation):

1. Das Vektorfeld, das das hamiltonsche System definiert, entsteht aus partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion. Weil diese nach Voraussetzung autonom ist, ist das Vektorfeld divergenzfrei.
2. Damit folgt aus der liouvilleschen Volumenformel, dass der vom hamiltonschen System erzeugte Fluss volumenerhaltend ist. Das bedeutet in Formeln: Der Fluss ${\displaystyle \Phi }$ definiert für jedes ${\displaystyle t}$ eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \Phi _{t}\colon \Omega \to \Omega }$. Ist ${\displaystyle U\subset \Omega }$ messbar, so ist auch ${\displaystyle \Phi _{t}^{-1}(U)=\Phi _{-t}(U)}$ messbar, und es gilt ${\displaystyle vol(U)=vol(\Phi _{t}(U))}$.
3. Man konzentriert sich jetzt auf ganzzahlige Zeitpunkte ${\displaystyle t=n}$; alle Mengen ${\displaystyle \Phi _{n}(U)\subset \Omega }$ haben das gleiche Volumen ${\displaystyle vol(U)>0}$. Weil der Phasenraum ${\displaystyle \Omega }$ endliches Volumen hat, können die Mengen ${\displaystyle \Phi _{n}(U)}$ nicht paarweise disjunkt sein. Also gibt es ${\displaystyle j>k\geq 0}$ derart, dass ${\displaystyle \Phi _{j}(U)\cap \Phi _{k}(U)\neq \emptyset }$. Damit gilt auch ${\displaystyle \emptyset \neq U\cap \Phi _{j-k}(U)=\Phi _{-k}(\Phi _{j}(U)\cap \Phi _{k}(U))}$.
4. Ist ${\displaystyle n_{0}}$ derart gefunden, dass ${\displaystyle U\cap \Phi _{n_{0}}(U)\neq \emptyset }$, dann können nach dem gleichen Argument die Mengen ${\displaystyle \Phi _{n\cdot n_{0}}(U)}$ nicht paarweise disjunkt sein. Also gibt es ${\displaystyle j>k\geq 0}$ mit ${\displaystyle \Phi _{j\cdot n_{0}}(U)\cap \Phi _{k\cdot n_{0}}(U)\neq \emptyset }$. Für ${\displaystyle n_{1}:=(j-k)n_{0}}$ gilt damit ${\displaystyle U\cap \Phi _{n_{1}}(U)=\Phi _{-kn_{0}}(\Phi _{jn_{0}}(U)\cap \Phi _{kn_{0}}(U))\neq \emptyset }$.

Die Schritte 1 und 2 dieser Argumentation waren bereits vor Poincaré wohl bekannt. Die restlichen Beweisideen finden sich wohl erstmals in Poincarés Arbeit.

Maßtheoretische Formulierung und Verschärfung

Bei Poincarés Beweis spielt der Begriff Volumen eine wichtige Rolle. Mit Hilfe der Maßtheorie und der damit verbundenen Begriffe lässt sich der Beweis klarer strukturieren. Man beginnt mit einem Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ und nennt eine messbare Abbildung

${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega }$

maßerhaltend, wenn für jede messbare Menge ${\displaystyle U\subset \Omega }$ die Gleichung ${\displaystyle \mu (g^{-1}(U))=\mu (U)}$ gilt, also wenn das Maß ${\displaystyle \mu }$ und sein Bildmaß unter ${\displaystyle g}$ übereinstimmen. Des Weiteren muss man die Endlichkeit des Maßraums voraussetzen, also ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$. So gelangt man zur maßtheoretischen Variante, wobei ${\displaystyle g^{n}}$ die ${\displaystyle n}$-fache Iteration von ${\displaystyle g}$ bezeichnet:

Seien ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ein endlicher Maßraum, ${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega }$ eine maßerhaltende Abbildung und ${\displaystyle U\subset \Omega }$ eine messbare Menge mit ${\displaystyle \mu (U)>0}$. Dann gibt es Punkte ${\displaystyle x\in U}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle g^{n_{k}}(x)\in U}$ für eine unbegrenzt aufsteigende Folge ${\displaystyle (n_{k})}$.

Eine genaue Analyse des poincaréschen Beweises mit Hilfe der Maßtheorie führt zu folgender maßtheoretischen Verschärfung:

Seien ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ein endlicher Maßraum, ${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega }$ eine maßerhaltende Abbildung und ${\displaystyle U\subset \Omega }$ eine messbare Menge mit ${\displaystyle \mu (U)>0}$. Dann bilden die Punkte ${\displaystyle x\in U}$, deren Iterierte ${\displaystyle g^{n_{k}}(x)}$ nicht beliebig oft nach ${\displaystyle U}$ zurückkehren, eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge.

Diskrete dynamische Systeme

Die maßtheoretischen Varianten lassen sich leicht auf diskrete dynamische Systeme anwenden, bringen dort aber nichts Neues: Als Maß nimmt man hier einfach das Zählmaß. Die Forderung ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$ bedeutet dann, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist. Damit wird maßerhaltend gleichbedeutend mit bijektiv, und die Aussage des poincaréschen Wiederkehrsatzes wird zu der einfachen Tatsache, dass jede Permutation einer endlichen Menge in Zykel zerfällt.