Quadratwurzel aus 2

Die Quadratwurzel aus 2 ist in der Mathematik diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt, also die Zahl $x>0$ , für die $x^{2}=2$ gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, irrational und wird durch ${\sqrt {2}}$ dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind: ${\sqrt {2}}$ = 1,414213562…

Allgemeines

Irrationalität

Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die Kreiszahl $\pi$ oder die eulersche Zahl $\mathbb {e}$ irrational. Im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen Hippasos von Metapont die Irrationalität bekannt. Den wohl bekanntesten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 veröffentlichte um 300 v. Chr. der Grieche Euklid.

Nachkommastellen

Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch im Dezimalsystem nur näherungsweise darstellen. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten:

{\sqrt {2}}=1{,}41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,69807\,85696\,71875\,37694\,\ldots

(Folge A002193 in OEIS)

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl $\pi$ – periodisch, denn Wurzel 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Für die $n$ -te Wurzel aus 2 mit $n>2$ trifft dies jedoch nicht zu.

{\sqrt {2}}=[1;\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,\dotsc ]

(Folge A040000 in OEIS)

Diese periodische Entwicklung ergibt sich aus folgenden einfachen Tatsachen (mit der Gaußschen Abrundungsfunktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ ):

\lfloor {\sqrt {2}}\rfloor =1

{\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

\lfloor {\sqrt {2}}+1\rfloor =2

{\sqrt {2}}+1-2={\sqrt {2}}-1

Die ersten Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von ${\sqrt {2}}$ sind

{\frac {1}{1}},\,{\frac {3}{2}},\,{\frac {7}{5}},\,{\frac {17}{12}},\,{\frac {41}{29}},\,{\frac {99}{70}},\,\dotsc

Kettenwurzeleigenschaft

Die Zahl $2$ lässt sich folgendermaßen als unendlich fortgesetzte Kettenwurzel darstellen:

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+...}}}}}}}}=2

Die Figur verdeutlicht die Konvergenz gegen $2$ anhand der Funktionswerte der Wurzelfunktion $f$ mit $f(x)={\sqrt {x}}$ unter Einbeziehung der Hilfsgeraden $y=x-2$ .

Geometrische Konstruktion

Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl ${\sqrt {2}}$ mit Zirkel und Lineal zu konstruieren: Die Diagonale eines Quadrates ist ${\sqrt {2}}$ -mal so lang wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit lang sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann ${\sqrt {2}}$ Einheiten. Um dies zu beweisen, reicht der Satz des Pythagoras: Für die Länge $x$ der Diagonale gilt $x^{2}=1^{2}+1^{2}$ .

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der Wurzelschnecke.

Geschichte

Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen ${\sqrt {2}}\approx {\tfrac {577}{408}}$ = 1,414215686… . Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von ${\sqrt {2}}$ überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel aus 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer Keilschrift ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit

1\cdot 60^{0}+24\cdot 60^{-1}+51\cdot 60^{-2}+10\cdot 60^{-3}={\tfrac {30547}{21600}}

= 1,414212962…

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von ${\sqrt {2}}$ überein, die Abweichung beträgt nur −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer, entweder an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck, dass das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht mit ganzen Zahlen darzustellen ist. Damit bewies er die Existenz inkommensurabler Größen. Eine antike Legende, wonach die Veröffentlichung dieser Erkenntnis von den Pythagoreern als Geheimnisverrat betrachtet wurde, ist nach heutigem Forschungsstand unglaubwürdig.

Sonstiges

Der Rekord liegt seit dem 19. Juni 2016 bei 10 Billionen Nachkommastellen, erzielt von Ron Watkins (Stand: 24. April 2018).
Das Verhältnis der beiden Seitenlängen eines Blattes im DIN-A-Format beträgt ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ mit Rundung auf ganze Millimeter (und hat entgegen mancher Annahme nichts mit dem Goldenen Schnitt ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ zu tun). Dadurch ist sichergestellt, dass bei Halbierung des Blattes entlang der längeren Seite wieder ein Blatt im DIN-A-Format (mit um eins erhöhter Nummerierung) entsteht.
Die Wurzel aus 2 ist das Frequenzverhältnis zweier Töne in der Musik bei gleichschwebender Stimmung, die einen Tritonus, also eine halbe Oktave bilden.
In der Elektrotechnik enthält die Beziehung zwischen Scheitelwert und Effektivwert von sinusförmiger Wechselspannung ebenfalls die Konstante ${\sqrt {2}}$ .

Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen

Die ersten vier Zweierblöcke 14, 14, 21 und 35 der dezimalen Stellen von Wurzel 2 sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch sieben teilbar. Die vier darauf folgenden Ziffern lassen sich in die durch sieben teilbaren Blöcke 623 und 7 aufteilen.

Ganzzahligkeit von Ausdrücken

Für alle ganzen $n\geq 0$ ist nach den Binomischen Formeln folgender Ausdruck eine natürliche Zahl: ${\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}$ , nämlich der Nenner der Kettenbruchentwicklung von ${\sqrt {2}}$ – die Pell-Folge.

Weblinks

Commons: Wurzel 2 – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Pythagoras’s Constant. In: MathWorld (englisch).
Folge A028254 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch Engel expansion) von √2)

Einzelnachweise

↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 179
↑ Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations - und Mediengeschichte (Memento vom 9. Mai 2007 im Internet Archive) – Beitrag zum Schülerprojekt Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft, 31. März 2000
↑ Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018.

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[1] Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 179

[2] Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations - und Mediengeschichte (Memento vom 9. Mai 2007 im Internet Archive) – Beitrag zum Schülerprojekt Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft, 31. März 2000

[3] Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018.