Endliche Ergebnismenge

Gegeben sei die Ergebnismenge

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}$,

versehen mit dem Ereignissystem

${\displaystyle \Sigma$ :=\{\Omega ,\emptyset ,\{1\},\{2,3\}\}} .

Dann sind zum Beispiel die Mengen ${\displaystyle \{1\}}$ und die Mengen ${\displaystyle \{2,3\}}$ Ereignisse, da sie im Ereignissystem enthalten sind. Die Menge ${\displaystyle \{2\}}$ ist kein Ereignis. Sie ist zwar eine Teilmenge der Ergebnismenge, aber nicht im Ereignissystem enthalten. Da das Ereignissystem eine σ-Algebra ist, sind die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ und die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ immer Ereignisse.

Diskrete Ergebnismenge

Für beliebige diskrete Ergebnismengen ${\displaystyle \Omega }$, also solche mit höchstens abzählbar unendlich vielen Elementen, setzt man meist die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ als Ereignissystem. Dann ist jede Teilmenge der Ergebnismenge ein Ereignis, da die Potenzmenge genau die Menge aller Teilmengen ist.

Reelle Ergebnismengen

Für reelle Ergebnismengen setzt man meist die Borelsche σ-Algebra als Ereignissystem. Hier sind dann zum Beispiel alle offenen Intervalle, also Mengen der Form ${\displaystyle (a,b)}$ mit ${\displaystyle a<b}$, Ereignisse. Tatsächlich sind diese Mengensysteme so groß, dass fast alles, was man sinnvoll definieren kann, ein Ereignis ist. Dennoch gibt es Mengen, die – bezogen auf die Borelsche σ-Algebra als Ereignissystem – keine Ereignisse sind, wie zum Beispiel die Vitali-Mengen.

Teilmengen und Gleichheit

Falls ein Ereignis ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge eines weiteren Ereignisses ${\displaystyle B}$ ist (notiert als ${\displaystyle A\subseteq B}$), dann tritt mit dem Ereignis ${\displaystyle A}$ stets auch das Ereignis ${\displaystyle B}$ ein. Man sagt dann auch: Das Ereignis ${\displaystyle A}$ zieht das Ereignis ${\displaystyle B}$ nach sich. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt in diesem Fall ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$. Das heißt: Zieht das Ereignis ${\displaystyle A}$ das Ereignis ${\displaystyle B}$ nach sich, dann ist die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle B}$ mindestens so groß wie die von ${\displaystyle A}$.

Es gilt ${\displaystyle A=B}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A\subseteq B}$ und ${\displaystyle B\subseteq A}$ gilt. Gleichheit von Ereignissen bedeutet also, dass das Ereignis ${\displaystyle A}$ das Ereignis ${\displaystyle B}$ in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis ${\displaystyle B}$ das Ereignis ${\displaystyle A}$.

Schnittmenge und Disjunktheit

Die Schnittmenge ${\displaystyle A\cap B}$ zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ beide eintreten.

Wenn ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ gilt, also das gemeinsame Eintreten von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ unmöglich ist, dann sagt man, die zwei Ereignisse schließen einander aus. Die Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ werden dann auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

Sind allgemeiner ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ Ereignisse, dann ist der Schnitt

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn alle ${\displaystyle A_{n}}$ eintreten. Die Ereignisse heißen paarweise disjunkt, wenn ${\displaystyle A_{m}\cap A_{n}=\emptyset }$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\neq n}$ gilt.

Vereinigung

Auch die Vereinigungsmenge ${\displaystyle A\cup B}$ zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn entweder ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ oder beide Ereignisse eintreten. Anders ausgedrückt: ${\displaystyle A\cup B}$ tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ eintritt.

Für die Wahrscheinlichkeit von Schnitt- und Vereinigungsmenge gilt stets die Formel

${\displaystyle P(A\cap B)+P(A\cup B)=P(A)+P(B)\,.}$

Speziell ist im Falle disjunkter Ereignisse ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$.

Sind allgemeiner ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ Ereignisse, dann ist die Vereinigung

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines der ${\displaystyle A_{n}}$ eintritt.

Es gilt stets die sogenannte σ-Subadditivität

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})\,.}$

Im Falle paarweise disjunkter Ereignisse gilt hierbei Gleichheit.

Für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Vereinigungen endlich vieler Ereignisse gilt die Siebformel.

Vollständiges Ereignissystem

Eine Familie von Ereignisse, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung ganz ${\displaystyle \Omega }$ ergibt, nennt man auch vollständiges Ereignissystem oder disjunkte Zerlegung von ${\displaystyle \Omega }$ (allgemein: eine Partition von ${\displaystyle \Omega }$). In diesem Fall gilt, dass für jedes Ergebnis des Zufallsexperiments genau eines der Ereignisse der disjunkten Zerlegung eintritt.

Komplement und Differenz

Das komplementäre Ereignis ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis ${\displaystyle A}$ nicht eintritt. Es wird auch Gegenereignis genannt und mit ${\displaystyle {\overline {A}}}$ (alternativ auch mit ${\displaystyle A^{\mathsf {c}}}$) bezeichnet. Seine Wahrscheinlichkeit ist

${\displaystyle P({\overline {A}})=1-P(A)\,.}$

Für die Komplemente von Schnitt- und Vereinigungsmengen gelten die de Morganschen Formeln

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\overline {A_{n}}}\,,}$

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {A_{n}}}\,.}$

Speziell für zwei Ereignisse gilt ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ sowie ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$.

Die Differenzmenge ${\displaystyle A\setminus B}$ ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das Ereignis ${\displaystyle A}$, aber nicht gleichzeitig das Ereignis ${\displaystyle B}$ eintritt. Es gilt

${\displaystyle A\setminus B=A\cap {\overline {B}}\,.}$

Für seine Wahrscheinlichkeit gilt ${\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)}$. Im Spezialfall ${\displaystyle B\subseteq A}$ folgt ${\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(B)}$.

Symmetrische Differenz

Eine weitere Mengenoperation ist die symmetrische Differenz

${\displaystyle A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

zweier Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. Das Ereignis ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$ tritt genau dann ein, wenn entweder ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ eintritt (aber nicht beide), also wenn genau eines der beiden Ereignisse eintritt. Es gilt

${\displaystyle P(A\bigtriangleup B)=P(A)+P(B)-2P(A\cap B)\,.}$