Allgemein

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder einer Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren, der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern sowie bei Filtern in der Elektrotechnik (Bessel-Filter). Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen. Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben.

Bessel-Funktionen erster Gattung: J_ν

Die Bessel-Funktion ${\displaystyle J_{\nu }}$ erster Gattung ${\displaystyle \nu }$-ter Ordnung ist definiert als

${\displaystyle J_{\nu }(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2r+\nu }}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\,}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion ist. Im Ursprung (${\displaystyle x=0}$) sind diese Funktionen für ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ endlich.

Für nicht-ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ sind ${\displaystyle J_{\nu }}$ und ${\displaystyle J_{-\nu }}$ linear unabhängige Lösungen.

Für ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ gilt die Beziehung

${\displaystyle J_{-\nu }(x)=(-1)^{\nu }J_{\nu }(x)=J_{\nu }(-x)\,}$.

In diesem Fall ist die zweite unabhängige Lösung die Bessel-Funktion zweiter Gattung, die weiter unten diskutiert wird.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung: Y_ν

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung ${\displaystyle Y_{\nu }(x)}$ (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist ${\displaystyle N_{\nu }(x)}$. Für nicht-ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ kann man die ${\displaystyle Y_{\nu }(x)}$ definieren durch

${\displaystyle Y_{\nu }(x)={\frac {J_{\nu }(x)\cos(\nu \pi )-J_{-\nu }(x)}{\sin(\nu \pi )}}.}$

Für ganzzahlige ${\displaystyle n}$ ist die durch den Grenzübergang ${\displaystyle \nu \rightarrow n}$ gebildete Funktion

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\nu \to n}Y_{\nu }(x)}$

weiterhin eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung gilt auch für die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)}$.

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von de L’Hospital ergibt sich

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =n}+(-1)^{n}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =-n}\right].}$

Explizit findet man

${\displaystyle Y_{n}(x)=\,{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac {x}{2}}\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k-n}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {H_{k}+H_{k+n}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+n}}$

für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. Hierbei ist ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante und ${\displaystyle H_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl.

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei ${\displaystyle x=0}$ eine logarithmische Singularität und einen Pol ${\displaystyle n}$-ter Ordnung.

Für alle ${\displaystyle \nu }$ ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung ${\displaystyle J_{\nu }}$ die Bessel-Funktion zweiter Gattung ${\displaystyle Y_{\nu }}$ eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Bessel-Funktionen dritter Gattung: H_ν⁽¹⁾, H_ν⁽²⁾

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}}$, ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}}$ (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\nu }^{(1)}(x)&=J_{\nu }(x)+\mathrm {i} \cdot Y_{\nu }(x)\,,\\H_{\nu }^{(2)}(x)&=J_{\nu }(x)-\mathrm {i} \cdot Y_{\nu }(x)\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Eigenschaften

Airysche Integrale

Für die Funktionen ${\displaystyle K_{1/3}}$ und ${\displaystyle K_{2/3}}$ kann man eine Integraldarstellung angeben

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1/3}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} u\\K_{2/3}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }u\sin \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} u\end{aligned}}}$.

Hypergeometrische Funktion

Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle I_{\nu }(x)={\frac {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;x^{2}/4)}$.

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

• Für die Bessel-Funktionen ${\displaystyle K_{\nu }}$ und ${\displaystyle I_{\nu }}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\displaystyle {\frac {\nu }{x}}K_{\nu }=-{\frac {1}{2}}\left(K_{\nu -1}-K_{\nu +1}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\nu }{x}}I_{\nu }={\frac {1}{2}}\left(I_{\nu -1}-I_{\nu +1}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}K_{\nu }=-{\frac {1}{2}}(K_{\nu -1}+K_{\nu +1})}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}I_{\nu }={\frac {1}{2}}(I_{\nu -1}+I_{\nu +1})}$

Asymptotisches Verhalten

Wir nehmen wieder an, dass ${\displaystyle \nu }$ reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\nu +1}}}$ findet man

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\nu }\\\\K_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}-\left(\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\{\frac {\Gamma (\nu )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0\,.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Für große Argumente ${\displaystyle x\gg |\nu ^{2}-1/4|}$ erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\\\\K_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\,.\end{aligned}}}$

Eigenschaften

• Für die sphärischen Bessel-Funktionen ${\displaystyle j_{\mu }}$, ${\displaystyle y_{\mu }}$, ${\displaystyle h_{\mu }^{(1)}}$ und ${\displaystyle h_{\mu }^{(2)}}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2\mu +1}{x}}\omega _{\mu }(x)\;\,=\omega _{\mu -1}(x)+\omega _{\mu +1}(x)\\&(2\mu +1)\omega '_{\mu }(x)\,=\mu \omega _{\mu -1}(x)-(\mu +1)\omega _{\mu +1}(x)\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\omega _{\mu }(x))\quad =x\omega _{\mu -1}(x)-\mu \omega _{\mu }(x)\end{aligned}}}$.

• Für die Wronski-Determinante gilt

${\displaystyle W(j_{\mu },y_{\mu })={\frac {1}{i}}W(j_{\mu },h_{\mu }^{(1)})=-W(y_{\mu },h_{\mu }^{(1)})={\frac {1}{x^{2}}}}$.