Äquivalenzumformung

In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lateinisch aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt (logische Äquivalenz). Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Damit eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist, muss gelten:

• Es gibt eine Umkehrung der Umformung (inverse Operation), durch die die Umformung rückgängig gemacht werden kann.
• Die Lösungsmenge der Gleichung bzw. Ungleichung bleibt unverändert.

Äquivalenzumformungen werden in der Schulmathematik üblicherweise im Raum der reellen Zahlen durchgeführt, da die Zahlengerade anschaulich und weder nach unten noch nach oben begrenzt ist. Prinzipiell können aber Gleichungen oder Ungleichungen beliebiger Strukturen so oder ähnlich behandelt werden, was jedoch nicht Gegenstand dieses Artikels ist.

Bei einer Äquivalenzumformung werden stets beide Seiten der Gleichung oder Ungleichung umgeformt. Wird nur eine der Seiten umgeformt, handelt es sich stattdessen um eine Termumformung.