σ-Algebra

In der Analysis und in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine σ-Algebra (gesprochen: „Sigma-Algebra“, auch σ-Mengenalgebra, abgeschlossenes Mengensystem, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) über einer Menge ${\displaystyle \Omega }$ eine nichtleere Menge ${\displaystyle \Sigma }$ von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$, die unter Komplement, abzählbaren Vereinigungen und abzählbaren Schnitten abgeschlossen ist. Das geordnete Paar ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ wird als Messbarer Raum bezeichnet.

Sei ${\displaystyle \Omega =\{a,b,c,d\}}$ dann ist eine mögliche σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ wobei ${\displaystyle \varnothing }$ die Leere Menge ist.

σ-Algebren spielen eine zentrale Rolle in der modernen Stochastik und Integrationstheorie, da sie dort als Definitionsbereiche für Maße auftreten und alle Mengen enthalten, denen man ein abstraktes Volumen beziehungsweise eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Außerdem ermöglichen sie beispielsweise, die Modellierung zeitlicher Verfügbarkeit von Informationen durch Filtrierungen oder die Kompression von Daten durch die suffiziente σ-Algebra.