Abbildungsklassengruppe

Die Abbildungsklassengruppe eines Raumes ist die Gruppe der „Symmetrien“ (Klassen von Abbildungen) dieses Raumes. Dabei werden Abbildungen, die sich stetig ineinander deformieren lassen, als jeweils eine Klasse von Abbildungen angesehen.

Formaler betrachtet man alle Homöomorphismen (stetige Selbstabbildungen, die eine stetige Umkehrabbildung besitzen) ${\displaystyle f\colon S\to S}$ eines Raumes ${\displaystyle S}$. Man sagt, dass zwei Homöomorphismen ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ zur selben Isotopieklasse gehören bzw. isotop sind, wenn es eine stetige Abbildung ${\displaystyle F\colon S\times \left[0,1\right]\to S}$ mit ${\displaystyle F(s,i)=f_{i}(s)}$ für alle ${\displaystyle s\in S}$ und ${\displaystyle i\in \left\{0,1\right\}}$ gibt. Diese Isotopieklassen von Homöomorphismen bilden mit der (wohldefinierten) Verknüpfung von Homöomorphismen eine Gruppe und diese wird als Abbildungsgruppe ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {MCG} (S)}$ bezeichnet.

Im Kontext orientierbarer Mannigfaltigkeiten betrachtet man nur die Isotopieklassen orientierungserhaltender Homöomorphismen. (Die Gruppe aller Isotopieklassen wird dann als erweiterte Abbildungsklassengruppe bezeichnet.) Im Fall von Mannigfaltigkeiten mit Rand betrachtet man nur diejenigen Homöomorphismen, die den Rand punktweise fest lassen und erlaubt auch nur solche Isotopien. Man kann dann also formal definieren

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S):=\pi _{0}(\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S))}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S))}$ die kompakt-offene Topologie trägt und ${\displaystyle \pi _{0}}$ die ${\displaystyle 0}$-te Homotopiemenge (also die Menge der Wegzusammenhangskomponenten) bezeichnet.

Meist, insbesondere in gruppentheoretischem Kontext, sind Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Flächen gemeint, wenn von „Abbildungsklassengruppen“ die Rede ist.

Dieser Artikel behandelt im Weiteren ausschließlich Abbildungsklassengruppen von orientierbaren Flächen.