Additive Zahlentheorie

In der additiven Zahlentheorie wird das Verhalten von Mengen ganzer Zahlen unter Addition untersucht. In der multiplikativen Zahlentheorie steht dagegen das Verhalten unter Multiplikation im Zentrum (Theorie der Primzahlen).

Bei Problemen der additiven Zahlentheorie fanden wie in der multiplikativen Zahlentheorie häufig Methoden der analytischen Zahlentheorie Verwendung, so die Hardy-Littlewood-Kreismethode und die Methode trigonometrischer Summen von Iwan Matwejewitsch Winogradow sowie Siebmethoden. Von besonderem Einfluss auf die Ausrichtung dieses Gebiets der Zahlentheorie war ein Aufsatz von Lew Genrichowitsch Schnirelman von 1930, in dem er Dichten von Mengen natürlicher Zahlen einführte (Schnirelmann-Dichte) und damit Aussagen über die Summen von Mengen natürlicher Zahlen traf und Ergebnisse im Umfeld der Goldbachschen Vermutung fand. Ist ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge natürlicher Zahlen, dann ist die Schnirelmann-Dichte definiert als:

${\displaystyle \sigma (A)=\inf _{n\in \mathbb {N} }{\frac {A(n)}{n}}}$

mit ${\displaystyle A(n)}$ der Anzahl der Elemente von ${\displaystyle A}$ kleiner oder gleich ${\displaystyle n}$. Die Summenmenge (Minkowski-Summe) ${\displaystyle A+B}$ ist die Menge aller Summen ${\displaystyle a+b}$ mit ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$. Entsprechend steht ${\displaystyle kA}$ für die k-fache Summe ${\displaystyle A+\cdots +A}$. Als Mengen kommt zum Beispiel die Menge ${\displaystyle P}$ der Primzahlen in Betracht.