Alpha-stabile Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und eine Folge ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$,

so nennt man ${\displaystyle X}$ stabil verteilt, wobei ${\displaystyle \sim }$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl ${\displaystyle c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]}$ ist. Die reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.