Analytische Halbgruppe

Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie ${\displaystyle \left(T(z)\right)_{z\in \Sigma _{\delta }}}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum ${\displaystyle X}$ in sich, wobei ${\displaystyle \Sigma _{\delta }:=\{\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}:|\operatorname {arg} \lambda |<\delta \}\cup \{0\}}$ ein komplexwertiger Sektor und ${\displaystyle \delta \in (0,\pi /2]}$ ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen, welche in der Analysis benutzt werden, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa der Wärmeleitungsgleichung zu beweisen.

Interessant ist die Untersuchung der analytische Halbgruppen vor allem wegen ihrer Glättungseigenschaften: So ist etwa die Lösung des zugeordneten Cauchyproblems stets unendlich oft differenzierbar in ${\displaystyle t}$ und liegt für positive ${\displaystyle t}$ stets in der Domain des Generators statt nur im Abschluss der Domain wie bei den stark stetigen Halbgruppen.