Basler Problem

Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also nach dem Wert der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$ .

Es wurde 1735 durch Leonhard Euler gelöst, der den Reihenwert ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}64493\,40668\,48226\,\ldots }$ fand. Man kann dies auch als Suche nach dem Wert ${\displaystyle \zeta (2)}$ der Riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 2 auffassen, die definitionsgemäß durch die angegebene unendliche Reihe dargestellt wird.

Das Basler Problem ist äquivalent zu

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}={\frac {{\pi }^{2}}{8}}}$

wegen

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{{(2m)}^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{(2k+1)}^{2}}}.}$