Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion Drei Wahrscheinlichkeitsfunktionen für Binomialverteilungen mit den Parametern ${\displaystyle (n;p)=(20;0{,}5)}$, ${\displaystyle (n;p)=(20;0{,}7)}$ und ${\displaystyle (n;p)=(40;0{,}5)}$
Verteilungsfunktion Drei Verteilungsfunktionen für Binomialverteilungen mit den Parametern ${\displaystyle (n;p)=(20;0{,}5)}$, ${\displaystyle (n;p)=(20;0{,}7)}$ und ${\displaystyle (n;p)=(40;0{,}5)}$ [Das N in der Legende der drei Verteilungsfunktionen entspricht dem ${\displaystyle n}$ der Dichtefunktionen.]
Parameter	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$, ${\displaystyle p\in [0,1]}$
Träger	${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n\}}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion	${\displaystyle \textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Verteilungsfunktion	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$
Erwartungswert	${\displaystyle np}$
Median	i. A. keine geschlossene Formel, siehe unten
Modus	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ oder ${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor }$
Varianz	${\displaystyle np(1-p)}$
Schiefe	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\quad (0<p<1)}$
Wölbung	${\displaystyle 3+{\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\quad (0<p<1)}$
Entropie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi \mathrm {e} \,np(1-p){\big )}}$ ${\displaystyle +\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {1}{n}}\right)\quad (0<p<1)}$
Momenterzeugende Funktion	${\displaystyle \left(1-p+p\mathrm {e} ^{t}\right)^{n}}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle \left(1-p+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)^{n}}$

Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Solche Versuchsserien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt. Im Urnenmodell wird ein solcher Versuch als Ziehen mit Zurücklegen bezeichnet.

Ist ${\displaystyle p}$ die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Versuche, dann bezeichnet man mit ${\displaystyle B(k\mid p,n)}$ (auch ${\displaystyle b(k,n,p)}$, ${\displaystyle B_{n,p}(k)}$, ${\displaystyle B(n,p,k)}$ oder ${\displaystyle B(n;p;k)}$) die Wahrscheinlichkeit, genau ${\displaystyle k}$ Erfolge zu erzielen (siehe Abschnitt Definition).

Die Binomialverteilung und der Bernoulli-Versuch können mit Hilfe des Galtonbretts veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die man Kugeln wirft. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht. Je nach Konstruktion sind unterschiedliche Parameter ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle p}$ möglich.

Obwohl die Binomialverteilung bereits lange vorher bekannt war, wurde der Begriff zum ersten Mal 1911 in einem Buch von George Udny Yule verwendet.