Cantor-Menge

Unter der Cantor-Menge, Cantormenge, auch cantorsches Diskontinuum, Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man in der Mathematik eine bestimmte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen mit besonderen topologischen, maßtheoretischen, geometrischen und mengentheoretischen Eigenschaften: Sie ist

• kompakt, perfekt, total unzusammenhängend (ein „Diskontinuum“) und nirgends dicht;
• eine Lebesgue-Nullmenge;
• selbstähnlich und hat eine nichtganzzahlige Hausdorffdimension (ist also ein Fraktal);
• gleichmächtig zum Kontinuum (der Menge aller reellen Zahlen), also insbesondere überabzählbar.

Die Cantormenge ist nach dem Mathematiker Georg Cantor benannt.

Allgemeiner nennt man auch gewisse Mengen oder topologische Räume Cantormengen, wenn sie einen Teil dieser Eigenschaften besitzen. Welche dieser Eigenschaften gefordert werden, hängt dabei vom mathematischen Gebiet und oft auch vom Kontext ab. Ein topologischer Raum, der homöomorph zur Cantormenge ist, heißt Cantor-Raum.

Neben vielen mehrdimensionalen Varianten der Cantormenge ist das Hauptbeispiel dieses Artikels, die Mitteldrittel-Cantormenge, eindimensional.