Cantors erstes Diagonalargument

Cantors erstes Diagonalargument ist ein mathematisches Beweisverfahren, mit dem man gegebenenfalls zeigen kann, dass zwei unendliche Mengen gleichmächtig sind.

Entwickelt wurde dieses Verfahren von Georg Cantor.

Zum Verständnis der Problematik und des Beweises ist es notwendig, die unspezifizierte Größe einer Menge durch die in der Mengenlehre formal definierte Mächtigkeit zu ersetzen:

Zwei Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann, und umgekehrt ebenso, wenn also eine Bijektion zwischen den Mengen existiert.

Während dies bei Mengen mit endlich vielen Elementen klar ist ({1,2,3} und {6,8,10} sind gleichmächtig), wird bei Mengen mit unendlich vielen Elementen die Problematik offensichtlich.

Beispielsweise sind die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der positiven geraden Zahlen gleichmächtig, denn man kann umkehrbar eindeutig jeder natürlichen Zahl i ihr Doppeltes 2·i zuordnen, obwohl die positiven geraden Zahlen echt in den natürlichen Zahlen enthalten sind.