Cauchy-Elastizität

Cauchy-Elastizität (von Augustin-Louis Cauchy und griechisch ελαστικός elastikos „anpassungsfähig“) ist ein Materialmodell der Elastizität. Elastizität ist die Eigenschaft eines Körpers, unter Krafteinwirkung seine Form zu verändern und bei Wegfall der einwirkenden Kraft in die Ursprungsform zurückzukehren (Beispiel: Sprungfeder). Als Ursache der Elastizität kommen Verzerrungen des Atomgitters (bei Metallen), das Dehnen von Molekülketten (Gummi und Kunststoffe) oder die Änderung des mittleren Atomabstandes (Flüssigkeiten und Gase) in Frage.

In der Cauchy-Elastizität sind die Reaktionskräfte bei der Verformung eines Körpers ausschließlich von der aktuellen Verformung bestimmt. Solche Zusammenhänge beschreiben beispielsweise die Zustandsgleichungen der Gase. Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Verschiedene Verformungspfade, die am Ende dieselben Verformungen zur Folge haben, resultieren am Ende in denselben Reaktionskräften. Auch die Deformationsgeschwindigkeiten haben auf Materialgleichungsebene keinen Einfluss auf die Reaktionen. Cauchy-Elastizität ist eine zeitunabhängige Materialeigenschaft.

Dissipative Vorgänge wie viskoses oder plastisches Fließen sind damit ausgeschlossen, was bei realen Materialien innerhalb ihrer Elastizitätsgrenze gewährleistet ist. Reale Flüssigkeiten, Gase und manche Feststoffe (wie Eisen und Glas) sind bei schnellen, geringfügigen Volumenänderungen (z. B. bei Schallwellen) in guter Näherung elastisch. Die Elastizitätsgrenze kann bei Feststoffen bei langsamen und hinreichend kleinen Verformungen eingehalten werden, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen.

Obwohl die Reaktionskräfte in einem Cauchy-elastischen Material vom zurückgelegten Verformungsweg unbeeinflusst sind, kann bei Feststoffen die auf verschiedenen Verformungswegen (mit gleichem Start- und Endpunkt) geleistete Formänderungsarbeit unterschiedlich groß ausfallen, was in Abwesenheit eines Dissipationsmechanismus im Widerspruch zu thermodynamischen Prinzipien steht. Wegunabhängigkeit der Formänderungsarbeit führt zu Hyperelastizität, die ein Spezialfall der Cauchy-Elastizität ist. Weitere Bedingungen an die Modellierung der Cauchy-Elastizität können aus dem Prinzip der materiellen Objektivität, demzufolge das Materialverhalten bezugssysteminvariant ist, und im Fall der Isotropie abgeleitet werden.

Viele elastische Materialien wie Stahl, Gummi, Plastik, Holz und Beton aber auch biologische Gewebe können in guter Näherung mit Cauchy-Elastizität beschrieben werden.