Cup-Produkt

Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht.

Für topologische Räume ${\displaystyle X}$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle p,q}$ definiert das Cup-Produkt ein Produkt

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\rightarrow H^{p+q}(X)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\rightarrow \alpha \cup \beta }$

mit den Eigenschaften

${\displaystyle \alpha \cup \beta =(-1)^{pq}\beta \cup \alpha }$ (graduierte Kommutativität)

${\displaystyle f^{*}(\alpha \cup \beta )=f^{*}\alpha \cup f^{*}\beta }$ für alle stetigen Abbildungen ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$ (Natürlichkeit)

${\displaystyle \alpha \cup (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \cup \beta _{1}+\alpha \cup \beta _{2}}$ (Distributivität)

${\displaystyle \alpha \cup (\beta \cup \gamma )=(\alpha \cup \beta )\cup \gamma }$ (Assoziativität).