Dualität (Mathematik)

In vielen Bereichen der Mathematik kommt es oft vor, dass man zu jedem Objekt ${\displaystyle X}$ der jeweils betrachteten Klasse ein weiteres Objekt konstruieren und zur Untersuchung von ${\displaystyle X}$ heranziehen kann. Dieses Objekt wird dann mit ${\displaystyle X'}$ oder ähnlich bezeichnet, um die Abhängigkeit von ${\displaystyle X}$ zum Ausdruck zu bringen. Wendet man dieselbe (oder eine ähnliche) Konstruktion auf ${\displaystyle X'}$ an, erhält man daraus ein mit ${\displaystyle X''=(X')'}$ bezeichnetes Objekt. Häufig stehen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle X''}$ in einer engen Beziehung, sind z. B. gleich oder isomorph, weshalb ${\displaystyle X'}$ Informationen über ${\displaystyle X}$ enthalten muss. Man nennt dann ${\displaystyle X'}$ das zu ${\displaystyle X}$ duale und ${\displaystyle X''}$ das biduale Objekt. In der zugehörigen mathematischen Dualitätstheorie untersucht man dann, wie Eigenschaften von ${\displaystyle X}$ zu Eigenschaften von ${\displaystyle X'}$ übersetzt werden können und umgekehrt.