Dualität (Verbandstheorie)

Mit Dualität oder Dualisierung wird in der Mathematik eine doppelte wechselseitige Zuordnung bezeichnet:

• Sie betrifft einerseits Strukturen, deren Operationen, Relationen oder Elemente
• Sie betrifft andererseits Formeln, mit denen die Strukturen beschrieben werden.

Die doppelte Zuordnung wird so vorgenommen, dass sich zwischen der Gültigkeit der sich entsprechenden Formeln in den sich entsprechenden Strukturen ein eindeutiger Zusammenhang ergibt. In der Verbandstheorie gilt dabei:

Sätze der Verbandstheorie werden durch Dualiseren wieder zu Sätzen der Verbandstheorie.

Der doppelten Beschreibung von Verbänden entspricht dabei eine doppelte Möglichkeit zur Definition der Dualisierung: Betrachtet man Verbände als algebraische Strukturen, dann besteht die Dualität zwischen den beiden Operationen: ${\displaystyle \sqcap }$ und ${\displaystyle \sqcup }$ werden vertauscht. Betrachtet man sie als Ordnungsstrukturen, dann sind ${\displaystyle \leq }$ und ${\displaystyle \geq }$ zueinander dual.
Die Zuordnung zwischen den Formeln ist in beiden Fällen durch eine Vertauschung der entsprechenden Symbole gegeben. Diese beiden Dualitäten sind wegen der wechselseitigen Definierbarkeit kompatibel. Man kann daher immer diejenige Dualität verwenden, die für die Situation besser passt.