Elementare Funktion

Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik solche Funktionen, die sich aus immer wieder auftauchenden, grundlegenden Funktionen (wie z. B. Polynomen oder dem Logarithmus) mittels der Grundrechenarten und Verkettung bilden lassen. Die genaue Liste der erlaubten Funktionen, aus denen elementar genannte Funktionen zusammengebaut sein dürfen, variiert manchmal von Autor zu Autor.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb – mehr noch als die speziellen Funktionen – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Es ist für gewöhnlich relativ schwierig, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion nicht elementar ist. Wichtige nichtelementare Funktionen, wie zum Beispiel das Fehlerintegral oder der Integralsinus, sind Stammfunktionen nicht elementar integrierbarer Funktionen. Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Eingeführt wurden der Begriff der elementaren Funktionen von Joseph Liouville in einer Reihe von Artikeln von 1833 bis 1841.