Ersetzungsaxiom

Das Ersetzungsaxiom ist ein Axiom, das Abraham Fraenkel 1921 als Ergänzung zur Zermelo-Mengenlehre von 1907 vorschlug und später ein fester Bestandteil der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) wurde. Es besagt informell, dass die Bilder von Mengen ebenfalls Mengen sind.

Durch das Ersetzungsschema kann man zum Beispiel die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen

${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$,

deren Existenz nach dem Unendlichkeitsaxiom gegeben ist, „ersetzen“ durch

${\displaystyle \{\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}}$,

wobei ${\displaystyle \omega }$ die kleinste Ordinalzahl ist und wir eine Funktion (bzw. einen funktionalen Ausdruck) der Form ${\displaystyle x\mapsto \omega +x}$ benutzten. In der prädikatenlogischen Sprache wird das Ersetzungsaxiom präzisiert als Axiomenschema, das unendlich viele Axiome umfasst. Daher wird es heute auch oft als Ersetzungsschema bezeichnet.