Euler-Charakteristik

Die Euler-Charakteristik ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Kennzahl für topologische Räume, zum Beispiel für geschlossene Flächen. Als Bezeichnung verwendet man üblicherweise ${\displaystyle \chi }$.

Benannt ist sie nach dem Mathematiker Leonhard Euler, der 1758 bewies, dass für ${\displaystyle E}$ die Anzahl der Ecken, ${\displaystyle K}$ die Anzahl der Kanten und ${\displaystyle F}$ die Anzahl der Flächen eines konvexen Polyeders die Beziehung ${\displaystyle E-K+F=2}$ gilt. Diese spezielle Aussage heißt eulerscher Polyedersatz. Man kann die Euler-Charakteristik, also die Zahl ${\displaystyle E-K+F}$, allgemeiner auch für CW-Komplexe definieren. Diese Verallgemeinerung nennt man auch Euler-Poincaré-Charakteristik, was auf den Mathematiker Henri Poincaré hinweisen soll. Flächen, die unter topologischen Gesichtspunkten als gleich angesehen werden, haben dieselbe Euler-Charakteristik. Sie ist deshalb eine ganzzahlige topologische Invariante. Die Euler-Charakteristik ist ein wichtiges Objekt im Satz von Gauß-Bonnet. Dieser stellt nämlich einen Zusammenhang zwischen der gaußschen Krümmung und der Euler-Charakteristik her.