Euler-Zahlen

Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl A_n,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als ${\displaystyle E(n,k)}$ oder ${\displaystyle \textstyle {\bigl \langle }\!{n \atop k}\!{\bigr \rangle }}$, ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$, in denen genau ${\displaystyle k}$ Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau ${\displaystyle k}$ Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl ${\displaystyle a(n,k)}$ die Anzahl der Permutationen von ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ mit genau ${\displaystyle k}$ maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: ${\displaystyle a(n,k)=A_{n,k-1}}$.