Fünfeckszahl

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die ${\displaystyle n}$-te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit ${\displaystyle n}$ regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.

Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.

Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die ${\displaystyle n}$-te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.