Fehlerfunktion

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der speziellen Funktionen die durch das Integral

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$

definierte Funktion. Damit ist die Fehlerfunktion eine Stammfunktion von ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-t^{2}}}$, und zwar die einzige ungerade (gerade Funktionen mit Stammfunktion besitzen genau eine ungerade solche).

Für ein reelles Argument ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ eine reellwertige Funktion; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente siehe unten.

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion, findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.