Galoiskohomologie

Unter Galoiskohomologie versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie das Studium der Gruppenkohomologie von Galoisgruppen.

Ist L|K eine Körpererweiterung und A ein Galoismodul, also ein Modul unter der Galoisgruppe Gal(L|K), so schreibt man

${\displaystyle \,H^{*}(L|K,A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (L|K),A)}$ (zur Notation siehe den Artikel Gruppenkohomologie)

Ist speziell L = K^sep ein separabler Abschluss von K, so schreibt man auch

${\displaystyle \,H^{*}(K,A)=H^{*}(G_{K},A)=H^{*}(\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {sep} }|K),A).}$

Eines der ersten Resultate der Galoiskohomologie ist Hilberts Satz 90, der besagt:

${\displaystyle H^{1}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=0}$.

Vor allem in der Klassenkörpertheorie ist die Beziehung zwischen Galoiskohomologie und Brauergruppe wichtig:

${\displaystyle H^{2}(K,(K^{\mathrm {sep} })^{\times })=\mathrm {Br} (K)}$.