Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie wird aus unabhängigen Bernoulli-Experimenten abgeleitet und in zwei Varianten definiert:

Variante A

die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl ${\displaystyle X}$ der Bernoulli-Versuche, die notwendig sind, um einen Erfolg zu haben. Diese Verteilung ist auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ definiert.

Variante B

die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl ${\displaystyle Y}$ der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Diese Verteilung ist auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ definiert.

Geometrische Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung (Variante B) für ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Verteilungsfunktion
Parameter	p ∈ (0,1) – Einzel-Erfolgswahrscheinlichkeit
Erwartungswert	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ (A) bzw. ${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$ (B)
Varianz	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Schiefe	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Wölbung	${\displaystyle 9+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$

Die beiden Varianten stehen in der Beziehung ${\displaystyle X=Y+1}$. Welche davon man „geometrische Verteilung“ nennt, wird entweder vorher festgelegt oder man wählt diejenige, die gerade zweckmäßiger ist.

Die geometrische Verteilung wird verwendet:

• bei der Analyse der Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses.
  • bei der Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d. h. dem Warten bis zum ersten Ausfall
• bei der Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie zum Beispiel Fehlern:
  • Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten (MTBF)
  • Bestimmung des Risikos in der Versicherungsmathematik
  • Bestimmung der Fehlerrate in der Datenübertragung, zum Beispiel Anzahl der erfolgreich übertragenen TCP-Pakete zwischen zwei Paketen mit Retransmission