Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen) ist ein Resultat aus der Gruppentheorie, insbesondere der Theorie über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Das sind Gruppen, die unter ihrer binären Verknüpfung kommutieren und in denen jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ als Produkt von Elementen einer endlichen Erzeugermenge darstellbar ist.

Die Aussage des Satzes ist, dass für alle diese Gruppen eine Zerlegung oder Dekomposition in endlich viele zyklische Untergruppen, das sind Gruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, existiert. Die Gruppe ${\displaystyle G}$ ist das direkte Produkt ${\displaystyle G}$ dieser Untergruppen. Weil jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung isomorph zu einer Restklassengruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} ,+)}$ ist und jede zyklische Gruppe unendlicher Ordnung isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, ist damit jede dieser Gruppen isomorph zu einem Produkt aus einer unendlichen oder trivialen Gruppe vom Typ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\,(n\in \mathbb {N} )}$ mit einer endlichen Gruppe, die ein Produkt von Restklassengruppen ist.

Anders formuliert besagt der Hauptsatz, dass eine endlich erzeugte abelsche Gruppe direktes Produkt einer freien abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe ist. Die endliche abelsche Gruppe ist die Torsionsuntergruppe von ${\displaystyle G}$. Die freie abelsche Gruppe ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, sondern nur ihr Rang.

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Satz über die Klassifizierung endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen, da jede abelsche Gruppe als Modul über dem Hauptidealring der ganzen Zahlen aufgefasst werden kann.