Hilbert-Kalkül

Hilbertkalküle sind axiomatische Kalküle für die klassische Aussagenlogik oder die Prädikatenlogik erster Stufe, das heißt Kalküle, in denen sich Theoreme und Argumente der Aussagenlogik oder der Prädikatenlogik erster Stufe herleiten lassen. Die beiden Hauptmerkmale von Hilbertkalkülen sind das Vorhandensein etlicher Axiome oder Axiomenschemata sowie die geringe Anzahl von Schlussregeln – im Fall der Angabe von Axiomenschemata oft nur einer einzigen Regel, des Modus ponendo ponens, und im Fall der Angabe von Axiomen zusätzlich einer Substitutionsregel.

Die Bezeichnung „Hilbertkalkül“ geht auf den Mathematiker David Hilbert zurück, der die als Hilbertprogramm bekannt gewordene und später durch den Gödelschen Unvollständigkeitssatz als unlösbar erwiesene Forderung aufstellte, die gesamte Mathematik und Logik auf ein gemeinsames einheitliches und vollständiges Axiomensystem aufzubauen. In einem engeren Sinn werden gelegentlich nur von Hilbert selbst angegebene Kalküle als Hilbertkalküle bezeichnet, insbesondere der gemeinsam mit Paul Bernays 1934 im Werk „Grundlagen der Mathematik“ angegebene axiomatische aussagenlogische Kalkül.

Da die Arbeiten von Hilbert wiederum auf der Begriffsschrift von Gottlob Frege basieren, werden diese Kalküle gelegentlich auch als „Frege-Kalküle“ bezeichnet.