Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In Abgrenzung zur allgemeinen hypergeometrischen Verteilung wird sie auch klassische hypergeometrische Verteilung genannt.

Einer dichotomen Grundgesamtheit werden in einer Stichprobe zufällig ${\displaystyle n}$ Elemente ohne Zurücklegen entnommen. Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben. Bedeutung kommt dieser Verteilung daher etwa bei Qualitätskontrollen zu.

Die hypergeometrische Verteilung wird modellhaft dem Urnenmodell ohne Zurücklegen zugeordnet (siehe auch Kombination ohne Wiederholung). Man betrachtet speziell in diesem Zusammenhang eine Urne mit zwei Sorten Kugeln. Es werden ${\displaystyle n}$ Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist die Zahl der Kugeln der ersten Sorte in dieser Stichprobe.

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei ${\displaystyle N}$ gegebenen Elementen („Grundgesamtheit des Umfangs ${\displaystyle N}$“), von denen ${\displaystyle M}$ die gewünschte Eigenschaft besitzen, beim Herausgreifen von ${\displaystyle n}$ Probestücken („Stichprobe des Umfangs ${\displaystyle n}$“) genau ${\displaystyle k}$ Treffer erzielt werden, d. h. die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle X=k}$ Erfolge in ${\displaystyle n}$ Versuchen.

Beispiel 1: In einer Urne befinden sich ${\displaystyle 30}$ Kugeln, ${\displaystyle 20}$ davon sind blau, also sind ${\displaystyle 10}$ nicht blau. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$, bei einer Stichprobe von zwanzig Kugeln genau dreizehn blaue Kugeln zu ziehen (ohne Zurücklegen)? Antwort: ${\displaystyle p=0.3096}$. Dies entspricht dem blauen Balken bei ${\displaystyle k=13}$ im Diagramm "Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung für ${\displaystyle n=20}$".

Beispiel 2: In einer Urne befinden sich ${\displaystyle 45}$ Kugeln, ${\displaystyle 20}$ davon sind gelb. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$, bei einer Stichprobe von zehn Kugeln genau vier gelbe Kugeln zu ziehen? Antwort: ${\displaystyle p=0.269}$. Das Beispiel wird unten durchgerechnet.