Integral der Bewegung

Ein Integral der Bewegung oder erstes Integral (englisch first integral) ist für ein gegebenes dynamisches System eine Funktion, die längs einer Bahnkurve des Systems konstant ist. Ein einfaches Beispiel ist die horizontale Bewegung, bei der die Höhe ein Integral der Bewegung ist. Der Name rührt daher, dass in praktischen Problemen diese Größen oft dadurch auffallen, dass ihre Zeitableitung verschwindet. Ihr Wert ergibt sich dann aus der Integration über die Zeit als Integrationskonstante.

Die ersten Integrale müssen die Bewegung nicht einschränken und sind dann eher Klassifikationsmerkmale eines Bewegungstyps. Häufig lassen die Integrale auf den weiteren Bahnverlauf schließen und helfen bei der Lösung der Bewegungsgleichungen. In den Erhaltungsgrößen haben die ersten Integrale Vertreter mit fundamentaler Bedeutung, siehe auch #Bekannte erste Integrale. Eines der ersten je gefundenen Integrale der Bewegung ist die Vis viva, die Gottfried Wilhelm Leibniz 1686 beim elastischen Stoß entdeckte.

Eine explizite Abhängigkeit der Integrale von der Zeit wie im zweiten der aufgeführten #Beispiele ist je nach Quelle erlaubt oder nicht und die Integrale werden auch Bewegungskonstanten genannt oder davon unterschieden.