Irreduzible Matrix

Eine Irreduzible Matrix, eigentlich Unzerlegbare Matrix, ist eine Matrix mit einer speziellen Eigenschaft, die im Jahr 1912 von Georg Frobenius in die Lineare Algebra eingeführt worden ist. Das deutsche Wort „unzerlegbar“, das Frobenius für diese Eigenschaft verwendete, wurde als „irreducible“, „unreduced“ oder „indecomposable“ ins Englische übertragen. Das Adjektiv „irreduzibel“ kann nur durch eine unkritische Rückübersetzung in die deutsche mathematische Fachliteratur gekommen sein. Das Wort „unzerlegbar“ dagegen wird in deutschen mathematischen Fachbüchern verwendet, die aus dem Russischen ins Deutsche übersetzt worden sind. Um festzustellen, ob eine Matrix diese Eigenschaft besitzt, bedient man sich einer einfachen Methode der Graphentheorie.

Eine Matrix ist unzerlegbar (irreduzibel), wenn sie durch Permutation von Zeilen und Spalten nicht in eine untere (oder obere) Blockdreiecksmatrix überführt werden kann. Unzerlegbare Matrizen sind von Bedeutung in der Theorie der positiven Eigenwerte und -vektoren, zum Beispiel für den Satz von Perron-Frobenius.

Ein lineares Gleichungssystem oder ein Eigenwertproblem mit einer zerlegbaren Matrix dagegen verringert die Anzahl der Rechenoperationen, die für die Lösung des Problems erforderlich ist.